课件第3部分图像变换.ppt
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1、第3章 图像变换,3.1 二维离散傅里叶变换(DFT),3.1.1 二维连续傅里叶变换 二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下: 设 是独立变量 的函数,且在 上绝对可积,则定义积分 为二维连续函数 的付里叶变换,并定义 为 的反变换。 和 为傅里叶变换对。,(3.1),(3.2),【例3.1】求图3.1所示函数,的傅里叶变换。,解:将函数代入到(3.1)式中,得,其幅度谱为,二维信号的图形表示,图3.1 二维信号f (x, y),(a)信号的频谱图 (b)图(a)的灰度图 图3.2 信号的频谱图,二维信号的频谱图,3.1.2 二维离散傅里叶变换 尺寸为MN的离散图像函数的DFT
2、反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得,(3.3),(3.4),DFT变换进行图像处理时有如下特点: (1)直流成分为F(0,0)。 (2)幅度谱|F(u,v)|对称于原点。 (3)图像f (x, y)平移后,幅度谱不发生变化,仅有相位发生了变化。,(3.5),(3.6),3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1周期性和共轭对称性 周期性和共轭对称性来了许多方便。 我们首先来看一维的情况。 设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换:,幅度谱:,(a)幅度谱 (b)原点平移后的幅度谱 图3.4 频谱图,DFT取的区间是0,N-1,在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的 ,要显示一个完整的
3、周期,必须将变换的原点移至u=N/2点。 根据定义,有 在进行DFT之前用(-1)x 乘以输入的信号 f (x) ,可以在一个周期的变换中(u0,1,2,N1),求得一个完整的频谱。,(3.7),推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数,则有: DFT的原点,即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。 (0,0)点的变换值为: 即 f (x,y) 的平均值。 如果是一幅图像,在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级,也称作频率谱的直流成分。,(3.8),(3.9),(a)原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图 图3.5 图像
4、频谱的中心化,2可分性 离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示 这里 对于每个x值,当v0,1,2,N1时,该等式是完整的一维傅里叶变换。,(3.10),(3.11),二维变换可以通过两次一维变换来实现。 同样可以通过先求列变换再求行变换得到2D DFT。,图3.6 二维DFT变换方法,3离散卷积定理 设f(x,y)和g(x,y) 是大小分别为AB和CD的两个数组,则它们的离散卷积定义为 卷积定理,(3.12),(3.13),【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 解:MATLAB程序如下: A=imread(pout.tif); %读入图像 imshow(A); %显示图像 A2=f
5、ft2(A); %计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心 figure, imshow(log(abs(A2)+1),0 10); %显示变换后的频谱图,(a)原始图像 (b)图像频谱 图3.7 傅里叶变换,3.2 二维离散余弦变换(DCT),任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项,余弦变换是傅里叶变换的特例,余弦变换是简化DFT的重要方法。 3.2.1 一维离散余弦变换 将一个信号通过对折延拓成实偶函数,然后进行傅里叶变换,我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。 1以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n) 得:,(3.14),图3.8
6、延拓示意图,2以2N为周期将其周期延拓,其中f(0)f(1),f(N1)f(N),(3.15),(3.16),3对0到2N1的2N个点的离散周期序列 作DFT,得 令i2Nm1,则上式为,为了保证变换基的规范正交性,引入常量,定义:,F(k)C(k),C(k)=,(3.17),其中,(3.18),3.2.2 二维离散余弦变换,(3.19),DCT逆变换为 【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。 解:MATLAB程序如下: A=imread(pout.tif); %读入图像 I=dct2(A); %对图像作DCT变换 subplot(1,2,1),imshow(A); %显示原图像
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