第一讲高等代数选讲之多项式理论.ppt
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1、第一讲 多项式理论,多项式理论是高等代数的重要内容之一,虽然它在高等代数课程中是一个相对独立而自成体系的部分,但却为高等代数所讲述的基本内容提供了理论依据。多项式理论中的一些重要定理和方法,在进一步学习数学理论和解决实际问题时常要用到,是代数学中最基本的研究对象之一。因此,在学习这部分内容时,要正确地掌握概念,学会严谨地推导和计算。,知识脉络图解,重因式,一元多项式概念,最大公因式,多项式的相等及运算,带余除法,综合除法,余数定理,多项式恒等及多项式函数的运算,整除性,因式分解,方程的根,不可约多项式,因式分解唯一性定理,数域,多项式函数,多元多项式概念,多元多项式函数,对称多项式,对称多项式
2、基本性质,复数域上的因式分解,实数域上的因式分解,有理多项式不可约判定,本原多项式求有理根,实多项式根的性质,代数学基本定理,根与系数的关系,重点、难点解读,这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述,内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分,以一元多项式理论为主。可归纳为以下四个方面:,(1)一般理论:包括一元多项式的概念、运算、多项式相等、导数等基本性质。,(2)整除理论:包括带余除法、整除、最大公因式、互素的概念与性质。,(3)因式分解理论:包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等。,(4)根的理论:包括多项式函数、多项式的
3、根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等。,一元多项式的内容十分丰富,重点是整除与因式分解的理论,最基本的结论是带余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中,如能把握这两个重点和三大基本定理,就能够整体把握一元多项式的理论。,对于多元多项式,则要理解 元多项式、对称多项式等有关概念,掌握对称多项式表成初等对称多项式的多项式的方法。,一、数域的判定,设P是至少含有两个数(或包含0与1)的数集,如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍是P中的数,则称P为一个数域。,1、数域的概念,2、数域的有关结论,(1)所有的数域都包含有理数域,即有理数域
4、是最小的数域。,(2)在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域;在实数域与复数域之间不存在其他的数域。,例1、设P是一个数集,有非零数 ,且P关于减法、除法(除数不为零)封闭,证明P是一个数域。,证 因为 ,所以,若 中有一个为零,则,综上所述,P关于加法、减法、乘法、除法都封闭,所以P是一个数域。,例2、证明:实数域与复数域之间不存在其他的数域。,证 设P是任意一个包含R且不同于R的数域,且P还包含至少一个复数 。,由于P是一个数域,所以,但,从而对任意实数 都有 ,,即P包含了全体复数。,故P=C。,二、一元多项式的概念,1、一元多项式的概念,形式表达式,2、多项式的相等关系,设,则,3、次
5、数公式,(1),(2),4、一元多项式环,所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P上的一元多项式环,记为 ,称P为 的系数域。,5、一元多项式环的有关结论,多项式的加、减、乘运算对 封闭,且多项式的加法、乘法均满足交换律与结合律,乘法对加法满足分配率,乘法还满足消去律。,6、注意零多项式和另次多项式的区别。,例1、令,求 的奇次项系数之和。,解 法1 由于,两式相乘得,由于 与 无奇次项,从而 不可能有奇次项,故其奇次项系数之和等于零。,法2 因为 ,所以 是偶函数,于是 的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等于零。,例2、设 为一多项式,若,则 或,证 若 ,则证毕。若 ,由于,所以
6、只能是零次多项式。,令 ,又因为,所以 ,此即,例3设 是非零实系数多项式, 是一个正整数,且 ,则 为零次多项式或者 。,三、多项式的带余除法及整除,1、带余除法,2、整除的概念,设 ,如果存在多项式 使 ,则称 整除 。,3、整除的充分必要条件,注 多项式的整除性是 中元素间的一种关系,不是多项式的运算。整除概念与带余除法有密切的联系,我们不能用带余除法来定义整除,因为这样定义整除,将会遗漏零多项式整除零多项式的情形。,4、整除的性质,(1)任一多项式 一定整除它自身,即,(2),(3)零次多项式能整除任一多项式;,(4)零次多项式只能被零次多项式整除;,(5)零多项式只能整除零多项式;,
7、(6)如果 ,则 ,其中 为非零常数, 为常数;,(7)如果 ,且 ,则,任意多项式都整除零多项式。,(10)多项式 有相同的因式与倍式;,(11)两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变。,5、综合除法,设以 除,所得的商 ,及余式 则,比较 两端同次幂的系数得,6、判定整除的方法,为证明一个多项式 整除一个多项式 ,如果其系数已具体给出时,通常采用带余除法和待定系数法。,如果 的系数未具体给出时,可采用以下方法:,现设出 的全部复根,并假设 无重根,即,其中 互异。,再证,则有,从而,这是因为,两两互素,故,因式分解法:直接将 因式分解,得出 , 当然这种情况只有在特殊情况下才能做到
8、。,验根法:,例1、将多项式,按 的 方幂展开。,解 法1 应用综合除法,即对于 次多项式 ,用 逐次除所得的商,得,法2 应用泰勒公式,由泰勒公式,得,从而,例2:设,证明:,例2、若 ,问是否必有 ?若不成立,举出反例。若成立,请说明理由。,解 成立。,法1 因为 ,所以 ,即,从而 ,故存在 ,使得,于是 ,此即,法2 有 个不同的复根,设为,则有 ,于是,这表明 都是 的根,故,例3、证明 ( 是三个任意的正整数)。,分析 用带余除法及待定系数法不易证明时,可以考虑采用因式定理来证明,即 的充分必要条件是,证 可求得 的根为,所以 ,又由,知 ,从而,设,则有,故由因式定理知 且 ,又
9、因为,且 互素,从而,即,注 本例证明中, 是指在复数域C上,而命题本身可理解为在一般数域P上讨论整除问题。这是因为整除的概念是在带余除法基础上定义的,而带余除法所得的商及余式不随系数域的扩大而改变,因此,上述多项式在P上与在C上整除是一致的。,四、最大公因式的计算与证明,1、最大公因式的概念,设 ,如果 满足 且 ,则称 为 与 的一个公因式;又如果 与 的任一公因式都能整除 ,则称 为 与 的一个最大公因式。,1、最大公因式的概念,设 ,如果 满足 且 ,则称 为 与 的一个公因式; 又如果 与 的任一公因式都能整除 ,则称 为 与 的一个最大公因式。,四、最大公因式的计算与证明,2、最大
10、公因式的性质,(1) 中任意两个多项式 与 一定有最大公因式。两个零多项式的最大公因式是零多项式,它是唯一确定的。两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式,它们之间只有常数因子的差别;最高次项系数为1的最大公因式是唯一确定的。,(2)设 如果有,则 与 的最大公因式一定是 与 的最大公因式,而 与 的最大公因式也一定是 与 的最大公因式。特别地,有 。(这也是用辗转相除法求最大公因式的根据),(3)设 ,如果 是 与 的最大公因式,则必有 ,使,(4)最大公因式不因数域P的扩大而改变。,2、求最大公因式的方法,(1)辗转相除法;,(2)因式分解法 如果求得 与 的典型分解式,其中 是首项
11、系数为1的不可约多项式, 为常数, 为非零整数,令 ,则,不唯一,例1、证明:若 ,则,证 令,由于,所以,若,由于,所以,从而,故,由于 的首项系数为1,故,例2、设 不全为0,求证:,( 为正整数),证 法1 令 ,即证,因为,所以,于是,此即,再由式有,从而存在 ,使得,两边乘 得,由上式知,故,法2 令 ,则,且,从而,故有,五、互素多项式的判定与证明,1、互素多项式的概念,注 零多项式与任一多项式都不互素。, 若多项式 互素,并不要求其中任意两个多项式都互素。,2、互素多项式的性质,(1)设 ,则 与 互素的充分必要条件是,存在 ,使,(2)如果 ,且 ,则,(3)如果 ,且 ,则,
12、(4)如果 ,则,3、判定互素多项式的方法,主要利用互素的充分必要条件,即,例1 设 与 为数域F中两个次数大于零的多项式, 证明:若 ,则 使 其中 ,并且满足这样条件的 是唯一的。,例2、设 都是 中的非零多项式,且,这里 ,又若,且 。证明:不存在 ,且,使,证 用反证法。若存在 使式成立,则用 乘式两端,得,因为 ,由式有,但 ,所以 ,这与,矛盾。,证 必要性 设 ,则,例3、设 与 是数域P上两个一元多项式, 为给定的正整数。求证: 的充分必要条件是,其中 ,两边 次方得,故,充分性 设,(1)若 ,则,(2)若 不全为零,则令,有,,且,于是,由于,所以存在 ,使得,将上式代入得
13、,两边消去 ,得,由上式得 ,但 ,故,这样继续下去有 ,由于,所以 ,其中 为非零常数。,故,从而 也是 与,的一个最大公因式。,则有,例:对任意非负整数 ,令 证明:,六、不可约多项式的判定与证明,1、不可约多项式的概念,如果数域P上次数大于零的多项式 不能表示成数域P上两个次数比它低的多项式的乘积,则称 是数域P上的不可约多项式。,注 零多项式与零次多项式既不能说是可约的,也不能说是不可约的。, 多项式的可约性与多项式所在的数域密切相关。, 互素多项式指的是 上的两个多项式之间的一种关系,而不可约多项式是某个多项式本身的一种特性,这是完全不同的两个概念,但在讨论问题时,互素多项式与不可约
14、多项式的性质又是互相利用的,要学会灵活运用。,2、不可约多项式的性质,(1)如果 是数域P上的不可约多项式,则 也是P上的不可约多项式,其中 是P中的非零数。,(2)如果 是数域P上的不可约多项式,则对P上的任一多项式 ,必有 或,3、不同数域上的不可约多项式,在复数域上,不可约多项式只能是一次式;在实数域上,不可约多项式只能是一次式或判别式小于零的二次式;在有理数域上,存在任意次的不可约多项式。,(2)爱森斯坦判别法;,(1)对于2次和3次有理多项式 ,如果 没有有 理根,则 在有理数域上不可约,但当次数大于3 时,结论不再成立。如 没有有理根,但它 在有理数域上是可约的。,4、有理系数多项
15、式可约性判别,设 是一个整系数多项式,如果存在素数 ,使,则 在有理数域上不可约。,注意:爱森斯坦判别法只是给出了一个有理系数多项式不可 约的充分条件,所以,如果找不到满足条件的素数 ,则 不能确定定多项式是否可约。 为了扩大爱森斯坦判别法的使用范围,有以下两个结论,结论1:令 ,则整系数多项式 在有理数域上有相同的可约性。,结论2:令 ,,则整系数多项式,在有理数域上有相同的可约性,其中,证 必要性 已知 不可约,假设 在有理数域上可约,即,其中 是有理系数多项式,且次数小于 的,有理系数多项式,次数不变,且有,次数,在上式中用 代 ,所得各多项式仍为,这说明 在有理数域上可约,矛盾。故 在
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