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1、第十一章 区间估计,置信区间 正态总体下的置信区间,第一节 置信区间,对应总体的某一个样本观测值,我们可以得到点估计量,的一个观测值,但是它仅仅是参数的一个近似值.,由于 是一个随机变量,它会随着样本的抽取而随机变化,不会总是和相等,而存在着或大、或小,或正、或负的误差.即便点估计量具备了很好的性质,但是它本身无法反映这种近似的精确度,且无法给出误差的范围. 为了弥补这些不足,我们希望估计出一个范围,并知道该范围包含真实值的可靠程度.这样的范围通常以区间的形式给出,同时还要给出该区间包含参数真实值的可靠程度.这种形式的估计称之为区间估计.,第一节 置信区间,例 对明年小麦的亩产量作出估计为:,
2、若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为,P(800X1000)=80%,明年小麦亩产量八成为800-1000斤.,区间估计,第一节 置信区间,例1,某农作物的平均亩产量X(单位)服从正态分布N(,2),今随机抽取100亩进行试验,观察其亩产量值x1,x2,x100,基此算出 ,因此的点估计值为500.由于抽,样的随机性, 的真值与 的值总有误差,我们希望以,95%的可靠度估计 与的最大误差是多少?,因为,从而存在c0,使得,因此,这个c就是可允许的最大误差,第一节 置信区间,定义 设X1,X2,Xn是来自总体f(x,)的样本, 未知,对于任给(0 1),若有统计量,则称随机区间 为的双侧1的置
3、信区间,1为置信水平,使得,第一节 置信区间,第一节 置信区间,第一节 置信区间,第一节 置信区间,第一节 置信区间,第一节 置信区间,这时必有,例1,某农作物的平均亩产量X(单位)服从正态分布N(,2),今随机抽取100亩进行试验,观察其亩产量值x1,x2,x100,基此算出 ,因此的点估计值为500.由于抽,样的随机性, 的真值与 的值总有误差,我们希望以,95%的可靠度估计 与的最大误差是多少?,因为,因此,就是c值,,解,此处,2=1002,n=100,因此,置信区间,第二节 正态总体下的置信区间,单个正态总体N(,2)的情形,一、均值估计(均值的置信区间),1. 2已知时,X1,X2
4、,Xn为取自N(,2)的样本,求的1-置信区间,第二节 正态总体下的置信区间,单个正态总体N(,2)的情形,2. 2未知时,第二节 正态总体下的置信区间,单个正态总体N(,2)的情形,例,为估计一批钢索所能承受的平均张力(单位:kg/cm2),,从中随机抽取10个样品作试验,由实验数据算出 ,,假定张力服从正态分布,求平均张力的置信水平,为95%的置信区间.,解,第二节 正态总体下的置信区间,单个正态总体N(,2)的情形,二、方差的估计(方差2的置信区间),1. 已知时,X1,X2,Xn为取自N(,2)的样本,求2的1-置信区间,第二节 正态总体下的置信区间,单个正态总体N(,2)的情形,1.
5、 未知时,第二节 正态总体下的置信区间,两个正态总体N(1,12), N(2,22)的情形,设X1,X2,Xm为取自N(1,12)的样本, Y1,Y2,Yn,为取自N(2,22)的样本,且(X1,X2,Xm,)与,(Y1,Y2,Yn)相互独立,求二总体均值差1- 2的1-,置信区间,第二节 正态总体下的置信区间,两个正态总体N(1,12), N(2,22)的情形,1- 2 的置信区间,1. 12, 22已知时,第二节 正态总体下的置信区间,两个正态总体N(1,12), N(2,22)的情形,2. 12=22=2未知时,第二节 正态总体下的置信区间,两个正态总体N(1,12), N(2,22)的
6、情形,例,甲、乙两台机床加工同一种零件,今在机床甲加工的零,件中随机抽取9件,在乙加工的零件中随机抽取6件,分,别测量零件的长度(单位:mm),由测得的数据可算出,假定零件长度服从正态分布,试求两台机床加工零件长,度的均值差1-2的水平为95%的置信区间。,解,令n1=9,n2=6,水平为95%的1-2的置信区间为,-0.6056,0.6164,例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从正态,解 (1),即,分布 N( 2), 现从某天的产品中随机抽,(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间 (3) 求方差 2的置信区间.,取 6 件, 测得直径为,15
7、.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1, 的置信区间为,(2) 取,查表,由给定数据算得, 2 的置信区间为,(3) 选取枢轴量,查表得, 的置信区间为,第三节 抽样推断,我们在对社会问题的抽样调查中,通常关心的是总体中具某种特性的个体的比率,所以我们在个体具备某种特性的时候 ,不具备某种特性时,令其为0,称样本中具有某种特性的个体的百分数为样本成数。 样本成数的公式:,第三节 抽样推断,例 欲调查某选区候选人A获胜的百分比 ,从该选区抽取2500个选民进行民意测试,其中1328人赞成选该候选人,则样本成数为 ,而总体成数 ,正是需推断的通常用样本成数 估计 ,其估计误差为 - 有时也称 - 为抽样误差,抽样误差为不可观察的。大小用标准差 来度量,成为标准误。记为SE,第三节 抽样推断,当抽样无放回时,统一用 计算标准误。 而 作为 的估计 的分布由中心极限定理,可得 的渐进分布: 对给定的 有 因此总体成数 的水平为 的渐进置信区间为,例 某市大学生1987年注册的有25000名,为调查住在家里的大学生的百分数,随机抽400人,发现有317人住在家里,试求这批大学生中住在家里所占的百分数的水平为95%的近似置信区间。 解:此处N=25000,n=400,因此可将抽样看成有放回的, 因此 最后得所求置信区间的观察值为(75%,83%),
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