能量法.ppt
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1、,材料力学II,第三章 能量法,31 概 述,1.能量法:,利用功和能的概念及能量守恒定律,求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。,2.能量法的应用范围:,(1)线弹性体;非线性弹性体,(2)静定问题;超静定问题,(3)是有限单元法的重要基础,32 应变能余能,1.应变能,(1) 线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式(参见上册),拉(压)杆,圆轴扭转,梁弯曲,(2) 非线性弹性体的应变能表达式,对图(a)的拉杆,F在d上所作微功为 dW = F d,F作的总功为:,(F-曲线与横坐标轴间的面积),由能量守恒得应变能:,(此为由外力功计算应变能的表达式),类似,可得其余变形下的应变能:,
2、若取各边长为单位长的单元体,则作用于上、下表面上的力为:,F = 11 = ,其伸长量为:, 1 ,则作用于此单元体上的外力功为:,注意到此单元体的体积为单位值,从而此时的应变能(数值上等于上式中的W) 为应变能密度:,(-曲线与横坐标轴间的面积),若取边长分别为dx、dy、dz 的单元体,则此单元体的应变能为:,整个拉杆的应变能为:,(此为由应变能密度计算应变能的表达式),说明:线弹性体的v、V 可作为非线性体的v、 V 的特例。由于线弹性的F与或与 成正比,则F曲线或 曲线与横坐标轴围成一个三角形,其面积等于应变能V 和应变能密度v 。,同理,可得纯剪时的应变能密度v为:,例3-1 弯曲刚
3、度为EI的简支梁受均布荷载q作用,如图所示。试求梁内的应变能 。,解:梁的挠曲线方程为:,荷载所作外力功为:,将前一式代入后一式得:,例3-2 原为水平位置的杆系如图a 所示,试计算在荷载F1作用的应变能。两杆的长度均为l,横截面面积均为A,其材料相同,弹性模量为E,且均为线弹性的。,解:设两杆的轴力为FN ,则两杆的伸长量均为:,两杆伸长后的长度均为:,由图a的几何关系可知:,代入前一式得:,或:,(几何非线性弹性问题),其F-间的非线性关系曲线为:,应变能为:,2. 余能,设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆,拉杆的F-曲线如图b 。,“余功Wc”定义为:,与余功相应的能称为余能Vc,余功W
4、c与余能Vc 在数值上相等。,(代表F-曲线与纵坐标轴间的面积),即:,另外,也可由余能密度vc计算余能V c:,其中,余能密度vc为:,(代表图c中-与纵坐标轴间的面积),对线弹性材料,余能和应变能仅在数值上相等,其概念和计算方法却截然不同。,注意:,对非线性材料,则余能V c与应变能V 在数值上不一定相等。,余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念,仅是具有功和能的量纲而已。,例3-3 试计算图a 所示结构在荷载F1作用下的余能Vc 。结构中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。,解:,两杆轴力均为:,两杆横截面上的应力为:,所以余能为,余能密度为
5、:,由已知,33 卡氏定理,1.卡氏第一定理,设图中材料为非线性弹性,,由于应变能只与最后荷载有关,而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载,从而有,假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d i ,则应变能的变化为:,因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其余各荷载相应的位移保持不变,因此,对于位移的微小增量d i ,仅Fi作了外力功,外力功的变化为:,注意到上式与下式在数值上相等,从而有:,(卡氏第一定理 ),注意:,卡氏第一定理既适合于线弹性体,也适合于非线性弹性体。,式中Fi及i分别为广义力、广义位移。,必须将V 写成给定位移的函数,才可求其变化率。,例3-4 由两根横截面面积均为A的
6、等直杆组成的平面桁架,在结点B处承受集中力F,如图a 所示。两杆的材料相同,其弹性模量为E,且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理,求结点B的水平和铅垂位移。,解:,设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2,,先假设结点B只发生水平位移1 (图b),则:,同理,结点B只发生铅垂位移2(图c),则:,当水平位移与铅垂位移同时发生时,则有(叠加),应用卡氏第一定理得,解得:,桁架的应变能为,2.卡氏第二定理,设有非线性弹性的梁,,梁内的余能为:,假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi ,而其余荷载均保持不变,因此,由于Fi改变了dFi ,外力总余功的相应改变量为:,余能的相应改变量为:,由于外力余功在数
7、值上等于余能,得,解得:,(称为“余能定理”),特别: 对线弹性体,由于力与位移成正比,应变能V 在数值上等于余能V c , 此时上式变为:,(称为“卡氏第二定理”),式中的Fi 和i分别为广义力和广义位移。,注意:,卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体,也适合于非线性弹性体,而卡氏第二定理 作为余能定理的特例,仅适合于线弹性体。,所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。,当所求位移处无相应广义力时,可在该处“虚加”上广义力,将其看成已知外力,反映在反力和内力方程中,待求过偏导后,再令该“虚加”外力为0。,实际计算时,常采用以下更实用的形式:,例11-5 求悬臂梁B点的挠度。EI为常数。,3-
8、5,例3-7 弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。梁的材料为线弹性体,且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。,解:,在自由端“虚加”外力F,任意x截面处的弯矩为:,例3-8 弯曲刚度均为 EI的静定组合梁 ABC,在 AB段上受均布荷载q作用,如图a 所示。梁材料为线弹性体,不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。,解:,在中间铰B两侧虚设一对外力偶MB(图b),各支反力如图b。,AB段弯矩方程:,由卡氏第二定理得:,结果符号为正,说明相对转角B的转向与图b中虚加外力偶MB的转向一致。,BC段弯矩方程,例11-9 求图
9、示刚架B截面Bx, By。,解:(1)求Bx:,3-9,(2)求By :,1、应变能余能,应变能,余 能,2、卡氏定理,卡氏第一定理,卡氏第二定理,上次课回顾,卡氏第二定理的实用形式,桁架结构,梁与刚架结构,34 用能量法解超静定系统,用能量法解超静定系统的步骤: (1)选取基本静定系; (2)建立变形协调条件; (3)求力-位移关系: 应用能量原理(余能原理、卡氏第二定理)计算基本静定系分别在荷载和多余未知力作用下的位移; (4)求解多余未知力: 将力-位移间物理关系,代入变形协调条件,得补充方程。由补充方程解出多余未知力。 (5)进行其他计算。,例3-12 作图示梁的弯矩图,EI为常数。,
10、解:,(1)选基本静定系,(2)变形协调条件,(3)求力-位移关系,q,(4)求解未知力,(5)作弯矩图,例3-13 用能量方法求解图示刚架,并作弯矩图。,解:(1)选基本静定系:,(2)变形条件:C=0,(3)求力-位移关系,弯矩方程及偏导数,x1,x2,X,卡氏第二定理求位移,(4)求解未知力,(5)作弯矩图,0.11ql2,0.0625ql2,例3-14 由同一非线性弹性材料制成的1、2、3杆,用铰连接如图a所示。已知三杆的横截面面积均为A,材料的应力一应变关系为=K1/n,且n 1;并知1、2两杆的杆长为l。试用余能定理计算各杆的内力。,解:,(1)选基本静定系统如图b。,(2)变形协
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