量纲分析与轮廓模型.ppt
《量纲分析与轮廓模型.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《量纲分析与轮廓模型.ppt(54页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、数学建模的基本步骤:,1、问题分析,2、模型假设,3、模型建立,4、模型求解,5、分析检验,6、论文写作,7、应用实际,二十一世纪的工作者 需要具有以下能力,1.抽象思维能力 2.逻辑推理能力 3.数学运算能力 4.空间想象能力 5.数学建模能力 6.数值计算与数据处理能力 7.使用数学软件的能力 8.更新知识的能力,主要学习内容:,1、量纲分析 2、集合分析 3、微分方程 4、差分方程 5、差值与拟合 6、MATLAB 7、概率分布 8、数理统计 9、回归分析 10、线性规划 11、整数规划 12、非线性规划 13、动态规划,初等分析方法: 所用的数学知识和方法都是初等的,在解决实际问题的过
2、程中,往往主要是看解决问题的效果和应用的结果如何,而不在于用了初等的方法还是高等的方法。,初等分析建模方法 常用的方法有: 类比分析法、几何分析法、 逻辑分析法、量纲分析发、 集合分析法等。,量纲分析与轮廓模型,量纲分析建模,一、单位与量纲,1、单位,数学建模的目的是解决实际问题,而实际问题中的量都有 相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。 如在实际问题中谈某个长度量,在关注其数值的同时还必须关 注其单位,否则,我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问 题中的诸多量并非全是相互独立的,其中一些量能起到基本量 的作用,其它量是这些基本量的符合某种规律的组合,如速度 是长度与时间这
3、两个基本量的一种规定的组合。,如果规定了基本量的单位,其它量的单位也随之确定。,定义:一组物理量,若彼此相互独立,且其它物理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合,则称这些物理量为基本物理量。,基本量信息表,2、基本物理量,3、量纲,定义:一物理量与基本物理量之间的规定关系,称为该量的量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示,因此也称为量纲积。即任一物理量的量纲皆可表示成,4、量纲与单位的关系,1)、量纲和单位都在反映物理量的特征,反映该物理量与基本物理量间的关系。,2)、任何物理量的量纲是唯一的,但单位可以有多个。,3)、有的量可以没有量纲,但它可能有单位。如角度,4)、物理量的量纲
4、及其相互关系反映了各量之间的内在属性,这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。,二、量纲齐次性定理,定理:,例 1 建模描述单摆运动的周期 问题:质量为m的小球系在长度 为 l的线的一端, 铅垂悬挂。小 球稍稍偏离平衡位置后将在重 力的作用下做往复的周期运动。 分析小球摆动周期的规律。,假设: 1. 忽略空气阻力; 2. 忽略可能的磨擦力; 3. 平面运动,忽略地球自转; 4. 忽略摆线的质量和变形。,分析建模 10. 列出有关的物理量 运动周期 t,摆线长 l,摆球质量 m,重力加速度 g,振幅 . 20. 写出量纲 t=T,l=L,m=M,g=LT-2,=1. 30. 写出规律 F(t,
5、 l, m, g, )= 0. 40. 写出规律中加项 的形式 =t 1 l 2 m 3 g 4 5,50. 计算 的量纲 = T1L2M3( LT-2)4 = T1-24L2 + 4M 3 60. 应用量纲齐次原理 由 = 1, 可得关于i (i 1, , 5)的方程组 1 - 24 = 0 2 + 4 = 0 3 = 0 5 任意,70. 解方程组 解空间的维数是二维。 对自由变量(4, 5)选取基底(1, 0)和(0, 1)。 关于 1, 2, 3 求解方程组可得基础解系,80. 求 将方程的解代入加项 的表达式,可得 1 = t2 l-1 g = t2 g / l , 2 = . 90
6、. 建模 单摆运动的规律应为 f (1, 2) = 0, 解出 1 可得 1 = k1(2) ,即 t2 g / l = k1() ,,100. 检验 周期与 质量 m m=390g m=237g l = 276cm 3.327s 3.350s l = 226cm 3.058s 3.044s 周期与振幅 (l=276cm, m=390g) (0) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62 k() 6.35 6.35 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 150 时, k( ) 2 。 k() 与 有关。,布金
7、汉(Buckingham)定理,对于某个物理现象或过程,如果存在有n个变量互为 函数关系, f(a1,a2, an)=0 而这些变量含有m个基本量纲,可把这n个变量转换成为 有(n-m)=i个无量纲量的函数关系式 F(1,2, n-m)=0 这样可以表达出物理方程的明确的量间关系,并把方程 中的变量数减少了m个,更为概括集中表示物理过程或 物理现象的内在关系。,量纲分析法的一般步骤: 1、将于问题有关的物理量(变量和常量)收集起来,记为q1,q2,qm,根据问题的物理意义确定基本量纲,记为x1,x2,xn(nm)。,2、写书qj的量纲qj=Xjaij(j=1,2,m)。,3、设q1,q2,qm
8、满足关系=qjyj,其中yj为待定的,为无纲的量。,4、解方程组aijyj=0 (i=1,2,n),系 数矩阵A=(aij)nm ,rank(A)=r,则方程组有 m-r个基本,yk=(yk1,yk2,ykm)T, (k=1,m-r)。,5、记k=qjykj ,则k(k=1,2,m-r)为 无量纲的量。,6、由 F(1 ,2 ,m-r)=0 解出物理 规律。,相关因素:,因素的量纲:,齐次关系:,从该例题看出,利用定理,可以在仅知与物理过 程有关物理量的情况下,求出表达该物理过程关系式的 基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带 有待定的系数,这个系数要通过实验来确定。而量纲分 析法求
9、解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此, 量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。,三. 量的比例关系与轮廓模型,1. 量的比例关系 10. 模型表达了不同量纲的量之间的转换规律. 20. 由量纲分析原理可知:不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。 30. 在同一模型中,若量 y1和 y2的量纲分别为 y1 = X和 y2 = X , 则定有 y1=k y2 / ,轮廓模型(profile models) 直接利用不同量纲的量之间的比例关系所得到的模型称之为轮廓模型。,模型举例 例 2. 几何体中的长度、面积和体积 正立方体 棱长 l0=a,底面周长 l1 = 4a,底面对角线 长 对角线长
10、 表面积 S1 = 6a2,底面面积 S2 = a2, 对角面面积 体积 V1 = a3,四棱锥体积 V2 = a3/3,结论 在简单的几何体中, 相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比; 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比; 相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比; Si = k1 Lj2,V i= k2Lj3,Vi = k3Sj3/2。,长方体 I 有棱长 (a, b, c) 总棱长L1=2(a+b+c), 底面周长 L2=2(a+b), 对角线长 表面积 S1=2(ab+bc+ca), 底面面积 S2= ab, 体积 V1=abc, 四棱锥体积 V2=1/3 abc.,若
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 量纲分析 轮廓 模型
链接地址:https://www.31doc.com/p-2612649.html