2018_2019高中数学第2章平面向量2.4第1课时向量的数量积学案苏教版必修4201901155.doc
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1、第1课时向量的数量积学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律,了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式知识点一平面向量的数量积一个物体在力F的作用下产生位移s,如图思考1如何计算这个力所做的功?答案W|F|s|cos.思考2力做功的大小与哪些量有关?答案与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关梳理平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b,它们的夹角是,我们把数量|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab|
2、a|b|cos.(2)我们规定:零向量与任一向量的数量积为0.特别提醒:两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定知识点二两个向量的夹角思考把两个非零向量的起点移至同一点,那么这两个向量构成的图形是什么?答案角梳理两个向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a,b,如图所示作a,b,则AOB,称为向量a与b的夹角(2)范围:0180.(3)当0时,a与b同向;当180时,a与b反向(4)当90时,则称向量a与b垂直,记作ab.知识点三平面向量数量积的几何意义思考1什么叫做向量b在向量a方向上的投影?什么叫做向量a在向量b方向上的投影
3、?答案如图所示,a,b,过B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则OB1|b|cos.|b|cos叫做向量b在a方向上的投影,|a|cos叫做向量a在b方向上的投影思考2向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗?答案由投影的定义知,二者不一定相同梳理(1)条件:向量a与b的夹角为.(2)投影:向量b在a方向上的投影|b|cos向量a在b方向上的投影|a|cos(3)ab的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积知识点四平面向量数量积的性质及运算律思考1向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别?答案向量的线性运算结果是向量,
4、而向量的数量积是数量思考2非零向量的数量积是否可为正数,负数和零,其数量积的符号由什么来决定?答案由两个非零向量的夹角决定当090时,非零向量的数量积为正数当90时,非零向量的数量积为零当90180时,非零向量的数量积为负数梳理(1)数量积性质当a与b同向时,ab|a|b|;当a与b反向时,ab|a|b|;当ab时,ab0;aa|a|2或|a|.(2)数量积的运算律abba;(a)ba(b)(ab)ab;(ab)cacbc.1向量数量积的运算结果是向量()2向量a在向量b方向上的投影一定是正数()3在等边ABC中,向量与向量夹角为60.()提示向量与向量夹角为120.4向量的数量积运算满足(a
5、b)ca(bc)()5(ab)ab.()类型一求两向量的数量积例1已知|a|4,|b|5,当(1)ab;(2)ab;(3)a与b的夹角为30时,分别求a与b的数量积解(1)ab,若a与b同向,则0,ab|a|b|cos04520;若a与b反向,则180,ab|a|b|cos18045(1)20.(2)当ab时,90,ab|a|b|cos900.(3)当a与b的夹角为30时,ab|a|b|cos304510.反思与感悟求平面向量数量积的步骤是:(1)求a与b的夹角,0,180;(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即ab|a|b|cos,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连结,而不能
6、用“”连结,也不能省去跟踪训练1已知菱形ABCD的边长为a,ABC60,则_.答案a2解析如图所示,由题意,得BCa,CDa,BCD120.()2aacos60a2a2.类型二求向量的模例2已知|a|b|5,向量a与b的夹角为,求|ab|,|ab|.解ab|a|b|cos55.|ab|5.|ab|5.引申探究若本例中条件不变,求|2ab|,|a2b|.解ab|a|b|cos55,|2ab|5.|a2b|5.反思与感悟求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2,即|a|,勿忘记开方跟踪训练2已知|a|b|5,且|3a2b|5,求|3ab|的值解|3a2b|29|a|212ab4|b|292512
7、ab42532512ab,|3a2b|5,32512ab25,ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb292562525400,故|3ab|20.类型三求向量的夹角例3设n和m是两个单位向量,其夹角是60,求向量a2mn与b2n3m的夹角解|n|m|1且m与n夹角是60,mn|m|n|cos6011.|a|2mn|,|b|2n3m|,ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为,则cos.又0,故a与b的夹角为.反思与感悟求向量夹角时,应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角,注意向量夹角的范围是0,跟踪训练3已知|a|2|b|2,且ab1.(1)求a与
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- 2018 _2019 高中数学 平面 向量 2.4 课时 数量 积学案苏教版 必修 4201901155
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