2018年中考数学真题分类汇编第二期专题22等腰三角形试题含解析201901253124.doc
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1、等腰三角形一.选择题1.(2018江苏宿迁3分)如图,菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,BAD60,则OCE的面积是( )A. B. 2 C. D. 4【答案】A【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4,ACBD,由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得ABD是等边三角形;在RtAOD中,根据勾股定理得AO=2,AC=2AO=4,根据三角形面积公式得SACD=ODAC=4,根据中位线定理得OEAD,根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出OCE的面积.【详解】菱形ABCD的周长为16,菱形ABCD的边长为4,BAD60,ABD是等边三角形
2、,又O是菱形对角线AC.BD的交点,ACBD,在RtAOD中,AO=,AC=2AO=4,SACD=ODAC= 24=4,又O、E分别是中点,OEAD,COECAD,SCOE=SCAD=4=,故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的性质,结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.2.2018内蒙古包头市3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD=AE若C+BAC=145,则EDC的度数为()A17.5B12.5C12D10【分析】由AB=AC知B=C,据此得2C+BAC=180,结合C+BAC=14
3、5可知C=35,根据DAE=90、AD=AE知AED=45,利用EDC=AEDC可得答案【解答】解:AB=AC,B=C,B+C+BAC=2C+BAC=180,又C+BAC=145,C=35,DAE=90,AD=AE,AED=45,EDC=AEDC=10,故选:D【点评】本题主要考查等腰直角三角形,解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质3. (2018达州3分)如图,ABC的周长为19,点D,E在边BC上,ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为()AB2CD3【分析】证明BNABNE,得到BA=
4、BE,即BAE是等腰三角形,同理CAD是等腰三角形,根据题意求出DE,根据三角形中位线定理计算即可【解答】解:BN平分ABC,BNAE,NBA=NBE,BNA=BNE,在BNA和BNE中,BNABNE,BA=BE,BAE是等腰三角形,同理CAD是等腰三角形,点N是AE中点,点M是AD中点(三线合一),MN是ADE的中位线,BE+CD=AB+AC=19BC=197=12,DE=BE+CDBC=5,MN=DE=故选:C【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键4. (2018资阳3分)下列图形具有两条对称轴的是()A等边
5、三角形B平行四边形C矩形D正方形【分析】根据轴对称及对称轴的定义,结合所给图形即可作出判断【解答】解:A.等边三角形由3条对称轴,故本选项错误;B.平行四边形无对称轴,故本选项错误;C.矩形有2条对称轴,故本选项正确;D.正方形有4条对称轴,故本选项错误;故选:C【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义,常见的轴对称图形有:等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圆等等5.(2018湖州3分)如图,AD,CE分别是ABC的中线和角平分线若AB=AC,CAD=20,则ACE的度数是()A. 20 B. 35 C. 40 D. 70【答案】B【解析】分析:先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求
6、出CAB=2CAD=40,B=ACB=(180-CAB)=70再利用角平分线定义即可得出ACE=ACB=35详解:AD是ABC的中线,AB=AC,CAD=20,CAB=2CAD=40,B=ACB=(180-CAB)=70CE是ABC的角平分线,ACE=ACB=35故选:B点睛:本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质,三角形内角和定理以及角平分线定义,求出ACB=70是解题的关键6. (2018贵州安顺3分)一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根,则该等腰三角形的周长是( )A. B. C. D. 或【答案】A【解析】试题分析:
7、,即,等腰三角形的三边是2,2,5,2+25,不符合三角形三边关系定理,此时不符合题意;等腰三角形的三边是2,5,5,此时符合三角形三边关系定理,三角形的周长是2+5+5=12;即等腰三角形的周长是12故选A考点:1解一元二次方程-因式分解法;2三角形三边关系;3等腰三角形的性质7. (2018广西玉林3分)等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是()A正比例函数B一次函数C反比例函数D二次函数【分析】根据一次函数的定义,可得答案【解答】解:设等腰三角形的底角为y,顶角为x,由题意,得y=x+90,故选:B8. (2018黑龙江哈尔滨3分)在ABC中,AB=AC,BAC=100,点D在BC边上,连
8、接AD,若ABD为直角三角形,则ADC的度数为130或90【分析】根据题意可以求得B和C的度数,然后根据分类讨论的数学思想即可求得ADC的度数【解答】解:在ABC中,AB=AC,BAC=100,B=C=40,点D在BC边上,ABD为直角三角形,当BAD=90时,则ADB=50,ADC=130,当ADB=90时,则ADC=90,故答案为:130或90【点评】本题考查等腰三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答9. (2018黑龙江龙东地区3分)RtABC中,ABC=90,AB=3,BC=4,过点B的直线把ABC分割成两个三角形,
9、使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8【分析】在RtABC中,通过解直角三角形可得出AC=5.SABC=6,找出所有可能的剪法,并求出剪出的等腰三角形的面积即可【解答】解:在RtABC中,ACB=90,AB=3,BC=4,AB=5,SABC=ABBC=6沿过点B的直线把ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:当AB=AP=3时,如图1所示,S等腰ABP=SABC=6=3.6;当AB=BP=3,且P在AC上时,如图2所示,作ABC的高BD,则BD=2.4,AD=DP=1.8,AP=2AD=3.6,S等腰ABP=SABC=6=4.32;
10、当CB=CP=4时,如图3所示,S等腰BCP=SABC=6=4.8综上所述:等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8故答案为3.6或4.32或4.8【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积,找出所有可能的剪法,并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键11.(2018福建A卷4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于()A15B30C45D60【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线,进而求出ECB=45,即可得出结论【解答】解:等边三角形ABC中,ADBC,BD=CD,即:AD是BC的垂直平分线,点E在AD上,BE=
11、CE,EBC=ECB,EBC=45,ECB=45,ABC是等边三角形,ACB=60,ACE=ACBECB=15,故选:A【点评】此题主要考查了等边三角形的性质,垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质,求出ECB是解本题的关键12. (2018福建B卷4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于()A15B30C45D60【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线,进而求出ECB=45,即可得出结论【解答】解:等边三角形ABC中,ADBC,BD=CD,即:AD是BC的垂直平分线,点E在AD上,BE=CE,EBC=ECB,EBC=45,ECB=45
12、,ABC是等边三角形,ACB=60,ACE=ACBECB=15,故选:A【点评】此题主要考查了等边三角形的性质,垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质,求出ECB是解本题的关键13. (2018达州3分)如图,ABC的周长为19,点D,E在边BC上,ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为()AB2CD3【分析】证明BNABNE,得到BA=BE,即BAE是等腰三角形,同理CAD是等腰三角形,根据题意求出DE,根据三角形中位线定理计算即可【解答】解:BN平分ABC,BNAE,NBA=NBE,BNA=BNE,在BNA和BNE中,BNABN
13、E,BA=BE,BAE是等腰三角形,同理CAD是等腰三角形,点N是AE中点,点M是AD中点(三线合一),MN是ADE的中位线,BE+CD=AB+AC=19BC=197=12,DE=BE+CDBC=5,MN=DE=故选:C【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键14. (2018资阳3分)下列图形具有两条对称轴的是()A等边三角形B平行四边形C矩形D正方形【分析】根据轴对称及对称轴的定义,结合所给图形即可作出判断【解答】解:A.等边三角形由3条对称轴,故本选项错误;B.平行四边形无对称轴,故本选项错误;C.矩形有2条
14、对称轴,故本选项正确;D.正方形有4条对称轴,故本选项错误;故选:C【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义,常见的轴对称图形有:等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圆等等二.填空题1.(2018江苏徐州3分)边长为a的正三角形的面积等于【分析】根据正三角形的性质求解【解答】解:过点A作ADBC于点D,ADBC,BD=CD=a,AD=a,面积则是:aa=a2【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法,比较简单2.(2018江苏无锡2分)如图,点A.B.C都在O上,OCOB,点A在劣弧上,且OA=AB,则ABC=15【分析】根据等边三角形的判定和性质,再利用圆周角定理解答即可【解答】解:O
15、A=OB,OA=AB,OA=OB=AB,即OAB是等边三角形,AOB=60,OCOB,COB=90,COA=9060=30,ABC=15,故答案为:15【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键3.(2018江苏无锡2分)如图,已知XOY=60,点A在边OX上,OA=2过点A作ACOY于点C,以AC为一边在XOY内作等边三角形ABC,点P是ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PDOY交OX于点D,作PEOX交OY于点E设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是2a+2b5【分析】作辅助线,构建30度
16、的直角三角形,先证明四边形EODP是平行四边形,得EP=OD=a,在RtHEP中,EPH=30,可得EH的长,计算a+2b=2OH,确认OH最大和最小值的位置,可得结论【解答】解:过P作PHOY交于点H,PDOY,PEOX,四边形EODP是平行四边形,HEP=XOY=60,EP=OD=a,RtHEP中,EPH=30,EH=EP=a,a+2b=2(a+b)=2(EH+EO)=2OH,当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值=OC=OA=1,即a+2b的最小值是2;当P在点B时,OH的最大值是:1+=,即(a+2b)的最大值是5,2a+2b5【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30
17、度角的性质、平行四边形的判定和性质,有难度,掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围4.(2018江苏淮安3分)若一个等腰三角形的顶角等于50,则它的底角等于65【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案【解答】解:等腰三角形的顶角等于50,又等腰三角形的底角相等,底角等于(18050)=65故答案为:65【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质,熟记等腰三角形的性质是解题的关键5. (2018乌鲁木齐4分)如图,在RtABC中,C=90,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置,BD交AB于点F若AB
18、F为直角三角形,则AE的长为 【分析】利用三角函数的定义得到B=30,AB=4,再利用折叠的性质得DB=DC=,EB=EB,DBE=B=30,设AE=x,则BE=4x,EB=4x,讨论:当AFB=90时,则BF=cos30=,则EF=(4x)=x,于是在RtBEF中利用EB=2EF得到4x=2(x),解方程求出x得到此时AE的长;当FBA=90时,作EHAB于H,连接AD,如图,证明RtADBRtADC得到AB=AC=2,再计算出EBH=60,则BH=(4x),EH=(4x),接着利用勾股定理得到(4x)2+(4x)+22=x2,方程求出x得到此时AE的长【解答】解:C=90,BC=2,AC=
19、2,tanB=,B=30,AB=2AC=4,点D是BC的中点,沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置,BD交AB于点FDB=DC=,EB=EB,DBE=B=30,设AE=x,则BE=4x,EB=4x,当AFB=90时,在RtBDF中,cosB=,BF=cos30=,EF=(4x)=x,在RtBEF中,EBF=30,EB=2EF,即4x=2(x),解得x=3,此时AE为3;当FBA=90时,作EHAB于H,连接AD,如图,DC=DB,AD=AD,RtADBRtADC,AB=AC=2,ABE=ABF+EBF=90+30=120,EBH=60,在RtEHB中,BH=BE=(4x),EH=BH=(4
20、x),在RtAEH中,EH2+AH2=AE2,(4x)2+(4x)+22=x2,解得x=,此时AE为综上所述,AE的长为3或故答案为3或【点评】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理6. (2018临安3分)用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图(1)所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE,其中BAC=36度【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题【解答】解:ABC=108,ABC是等腰三角形,BAC=BCA=36度【
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