2018_2019高中数学第2章平面向量2.5向量的应用学案苏教版必修420190115543.doc
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1、2.5向量的应用学习目标1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力知识点一几何性质与向量的关系设a(x1,y1),b(x2,y2),a,b的夹角为.思考1证明线线平行、点共线及相似问题,可用向量的哪些知识?答案可用向量共线的相关知识:ababx1y2x2y10(b0)思考2证明垂直问题,可用向量的哪些知识?答案可用向量垂直的相关知识:abab0x1x2y1y20.梳理平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来知识点二向量方法解决平
2、面几何问题的步骤1建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题2通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题3把运算结果“翻译”成几何关系知识点三物理中的量和向量的关系1物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量2物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加法运算与减法运算1功是力F与位移S的数量积()2力的合成与分解体现了向量的加减法运算()3某轮船需横渡长江,船速为v1,水速为v2,要使轮船最快到达江的另一岸,则需保持船头方向与江岸垂直()类型一用平面向量求解直线方程例1已知ABC的三个顶点A(0,4),B(4,0)
3、,C(6,2),点D,E,F分别为边BC,CA,AB的中点(1)求直线DE,EF,FD的方程;(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程解(1)由已知得点D(1,1),E(3,1),F(2,2),设M(x,y)是直线DE上任意一点,则.(x1,y1),(2,2)(2)(x1)(2)(y1)0,即xy20为直线DE的方程同理可求,直线EF,FD的方程分别为x5y80,xy0.(2)设点N(x,y)是CH所在直线上任意一点,则.0.又(x6,y2),(4,4)4(x6)4(y2)0,即xy40为所求直线CH的方程反思与感悟利用向量法解决解析几何问题,首先将线段看成向量,再把坐标利用向量法则进行运算跟
4、踪训练1在ABC中,A(4,1),B(7,5),C(4,7),求A的平分线所在的直线方程解(3,4),(8,6),A的平分线的一个方向向量为a.设P(x,y)是角平分线上的任意一点,A的平分线过点A,a,所求直线方程为(x4)(y1)0.整理得7xy290.类型二用平面向量求解平面几何问题例2已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:(1)BECF;(2)APAB.证明建立如图所示的平面直角坐标系,设AB2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)(1)(1,2),(2,1)(1)(2)2(1)0,即BECF.(2)设点P坐标
5、为(x,y),则(x,y1),(2,1),x2(y1),即x2y2,同理,由,得y2x4,由得点P的坐标为.|2|,即APAB.反思与感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路:(1)向量的线性运算法的四个步骤:选取基底用基底表示相关向量利用向量的线性运算或数量积找出相应关系把几何问题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤:建立适当的平面直角坐标系把相关向量坐标化用向量的坐标运算找出相应关系把几何问题向量化跟踪训练2如图,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PEAB,PFBC,垂足分别为E,F,连结DP,EF,求证:DPEF.证明方法一设正方形ABCD的边长为1,AEa(0a1),则EP
6、AEa,PFEB1a,APa,()()1acos1801(1a)cos90aacos45a(1a)cos45aa2a(1a)0.,即DPEF.方法二如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系设正方形ABCD的边长为1,AP(0),则D(0,1),P,E,F.,220,即DPEF.类型三向量在物理学中的应用例3(1)在重300N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30,60(如图),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小解如图,两根绳子的拉力之和,且|300N,AOC30,BOC60.在OAC中,ACOBOC60,AOC30,则OAC90,从而
7、|cos30150(N),|sin30150(N),所以|150(N)答与铅垂线成30角的绳子的拉力是150N,与铅垂线成60角的绳子的拉力是150N.(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30,速度为20km/h,此时水的流向是正东,流速为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向解建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30,速度为|v1|20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v2|20(km/h),设帆船行驶的速度为v,则vv1v2.由题意,可得向量v1(20cos60,20sin60)(10,10),向量v
8、2(20,0),则帆船的行驶速度为vv1v2(10,10)(20,0)(30,10),所以|v|20(km/h)因为tan(为v和v2的夹角,且为锐角),所以30,所以帆船向北偏东60的方向行驶,速度为20km/h.反思与感悟利用向量法解决物理问题有两种思路,第一种是几何法,选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量运算法则,运算律或性质计算第二种是坐标法,通过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,转化为代数运算跟踪训练3河水自西向东流动的速度为10km/h,小船自南岸沿正北方向航行,小船在静水中的速度为10km/h,求小船的实际航行速度解设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速
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