2018年中考数学真题分类汇编第一期专题23直角三角形与勾股定理试题含解析20190125380.doc
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1、1 直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理 一、选择题一、选择题 1(2018山西3 分) “算经十书”是 指汉唐一千多年间的十部著名数学著作, 它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书,这些流传下来的古算书中凝聚着历 代数学家的劳动成果.下列四部著作中,不属于我 国古代数学著作的是( ) A.九章算术B. 几何原本 C. 海岛算经 D. 周髀算经 【答案 】 B 【考点 】数学文 化 【解 析】几何原本的作者是欧几里得 2 (2018山东滨州3 分)在直角三角形中,若勾为 3,股为 4,则弦为( ) A5B6C7D8 【分析】直接根据勾股定理求解即可 【解答】解:在直角三角形中,勾为 3,股
2、为 4, 弦为=5 故选:A 【点评】本题考查了勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等 于斜边长的平方 3. (20182018湖北省孝感湖北省孝感3 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AC=10,BD=24,则菱形 ABCD 的周长为( ) 2 A52B48C40D20 【分析】由勾股定理即可求得 AB 的长,继而求得菱形 ABCD 的周长 【解答】解:菱形 ABCD 中,BD=24,AC=10, OB=12,OA=5, 在 RtABO 中,AB=13,菱形 ABCD 的周长=4AB=52, 故选:A 【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理
3、等知识,解题的关键是熟练掌握菱形的性质,属 于中考常考题型 4. (2018山东青岛3 分)如图,三角形纸片 ABC,AB=AC,BAC=90,点 E 为 AB 中 点沿过点 E 的直线折叠,使点 B 与点 A 重合,折痕现交于点 F已知 EF=,则 BC 的长是 ( ) ABC3D 【分析】由折叠的性质可知B=EAF=45,所以可求出AFB=90,再直角三角形的性质 可知 EF=AB,所以 AB=AC 的长可求,再利用勾股定理即可求出 BC 的长 【解答】解: 沿过点 E 的直线折叠,使点 B 与点 A 重合, B=EAF=45, AFB=90, 点 E 为 AB 中点, 3 EF=AB,E
4、F=, AB=AC=3, BAC=90, BC=3, 故选:B 【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用,求出 AFB=90是解题的关键 5. (2018四川自贡4 分)如图,若ABC 内接于半径为 R 的O,且A=60,连接 OB、OC,则边 BC 的长为( ) ABCD 【分析】延长 BO 交圆于 D,连接 CD,则BCD=90,D=A=60;又 BD=2R,根据锐角三 角函数的定义得 BC=R 【解答】解:延长 BO 交O 于 D,连接 CD, 则BCD=90,D=A=60, CBD=30, BD=2R, DC=R, BC=R, 故选:D 【点评】此题综
5、合运用了圆周角定理、直角三角形 30角的性质、勾股定理,注意:作直径 构造直角三角形是解决本题的关键 4 6. (2018台湾分)如图 1 的矩形 ABCD 中,有一点 E 在 AD 上,今以 BE 为折线将 A 点往 右折,如图 2 所示,再作过 A 点且与 CD 垂直的直线,交 CD 于 F 点,如图 3 所示,若 AB=6 ,BC=13,BEA=60,则图 3 中 AF 的长度为何?( ) A2B4C2D4 【分析】作 AHBC 于 H则四边形 AFCH 是矩形,AF=CH,AH=CF=3在 RtABH 中,解直 角三角形即可解决问题; 【解答】解:作 AHBC 于 H则四边形 AFCH
6、 是矩形,AF=CH,AH=CF=3 在 RtAHB 中,ABH=30, BH=ABcos30=9, CH=BCBH=139=4, AF=CH=4, 故选:B 【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识,解题的关键是 学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型 7. (2018台湾分)如图,坐标平面上,A、B 两点分别为圆 P 与 x 轴、y 轴的交点,有一 直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直,C 点为 L 与 y 轴的交点若 A、B、C 的坐标分别为(a,0) , (0,4) , (0,5) ,其中 a0,则 a 的值为何?( ) A2B2C8D
7、7 【分析】连接 AC,根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC,根据勾股定理求出 OA,得到答 5 案 【解答】解:连接 AC, 由题意得,BC=OB+OC=9, 直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直, 直线 L 是线段 AB 的垂直平分线, AC=BC=9, 在 RtAOC 中,AO=2, a0, a=2, 故选:A 【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理,掌握垂径定理的推论是 解题的关键 8.(2018湖北黄冈3 分)如图,在 RtABC 中,ACB=90,CD 为 AB 边上的高,CE 为 AB 边上的中线,AD=2,CE=5,则 CD= A.2 B.3 C.4
8、D.23 (第 5 题图) 【考点】直角三角形斜边上的中线的性质,勾股定理。 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得 CE=AE=5,又知 AD=2,可得 DE=AE-AD=5-2=3,在 RtCDE 中,运用勾股定理可得直角边 CD 的长。 6 【解答】解:在 RtABC 中,ACB=90,CE 为 AB 边上的中线, CE=AE=5, 又AD=2, DE=AE-AD=5-2=3, CD 为 AB 边上的高 CDE=90, CDE 为 Rt CD= DECE 22 = 35 22 =4 故选 C. 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质,勾股定理。得出 DE 的长是解题
9、的关键。 9. (2018广西桂林3 分)如图,在正方形 ABCD 中,AB=3,点 M 在 CD 的边上,且 DM=1,AEM 与 ADM 关于 AM 所在的直线对称,将 ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90得到 ABF,连接 EF,则线段 EF 的长为( ) A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】分析:连接 BM.证明AFEAMB 得 FE=MB,再运用勾股定理求出 BM 的长即可. 详解:连接 BM,如图, 由旋转的性质得:AM=AF. 四边形 ABCD 是正方形, AD=AB=BC=CD,BAD=C=90, 7 AEM 与 ADM 关于 AM 所在的直线对称, DAM=E
10、AM. DAM+BAM=FAE+EAM=90, BAM=EAF, AFEAMB FE=BM. 在 RtBCM 中,BC=3,CM=CD-DM=3-1=2, BM= FE=. 故选 C. 点睛:本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段 的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等也考查了正方形的性质 10 (2018 四川省泸州市 3 分) “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古 代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的 一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边长为 b若 ab=8,大正方形的 面积为
11、 25,则小正方形的边长为( ) A9B6C4D3 【分析】由题意可知:中间小正方形的边长为:ab,根据勾股定理以及题目给出的已知数 据即可求出小正方形的边长 【解答】解:由题意可知:中间小正方形的边长为:ab, 每一个直角三角形的面积为:ab=8=4, 4ab+(ab)2=25, (ab)2=2516=9, ab=3, 故选:D 【点评】本题考查勾股定理,解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,本题属于 8 基础题型 二二. .填空题填空题 1.(2018湖北黄冈3 分)如图,圆柱形玻璃杯高为 14cm,底面周长为 32cm,在杯内壁离杯 底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂
12、蚁正好在杯外壁,离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为_cm(杯壁厚度不计). (第 13 题图) 【考点】平面展开-最短路径问题 【分析】将圆柱体侧面展开,过 B 作 BQEF 于 Q,作 A 关于 EH 的对称点 A,连接 AB 交 EH 于 P,连接 AP,则 AP+PB 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,求出 AQ,BQ,根据勾股定理求 出 AB 即可 【解答】解:沿过 A 的圆柱的高剪开,得出矩形 EFGH,过 B 作 BQEF 于 Q,作 A 关于 EH 的 对称点 A,连接 AB 交 EH 于 P,连接 AP,则 AP+PB 就是蚂蚁到
13、达蜂蜜的最短距离, 9 AE=AE,AP=AP, AP+PB=AP+PB=AB, BQ= 2 1 32cm=16cm,AQ=14cm-5cm+3cm=12cm, 在 RtAQB 中,由勾股定理得:AB= 1216 22 =20cm. 故答案为:20. 【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进 行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 2. (2018天津3 分)如图,在边长为 4 的等边中, , 分别为,的中点, 于点 , 为的中点,连接,则的长为_ 【答案】 【解析】分析:连接 DE,根据题意可得 DEG 是直角三角形,然后根据勾股定理即可
14、求解 DG 的长. 详解:连接 DE, 10 D、E 分别是 AB、BC 的中点, DEAC,DE= AC ABC 是等边三角形,且 BC=4 DEB=60,DE=2 EFAC,C=60,EC=2 FEC=30,EF= DEG=180-60-30=90 G 是 EF 的中点, EG=. 在 RtDEG 中,DG= 故答案为:. 点睛:本题主要考查了等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线性质定理,记住和熟 练运用性质是解题的关键. 3 (2018天津3 分)如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中,的顶点 , , 均在格点上. (1)的大小为_(度) ; (2)在如图所示的网格中, 是边上
15、任意一点. 为中心,取旋转角等于,把点 逆时 针旋转,点 的对应点为 .当最短时,请用无刻度的直尺,画出点 ,并简要说明点 的位 置是如何找到的(不要求证明)_ 【答案】 (1). ; (2). 见解析 【解析】分析:(1)利用勾股定理即可解决问题; (2)如图,取格点 , ,连接交于点 ;取格点, ,连接交延长线于点 ; 取格点 ,连接交延长线于点 ,则点 即为所求. 11 详解:(1)每个小正方形的边长为 1, AC=,BC=,AB=, ABC 是直角三角形,且C=90 故答案为 90; (2)如图,即为所求. 点睛:本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识,解题的关键是利用数形结合的思想
16、解决 问题,学会用转化的思想思考问题. 4. (2018四川自贡4 分)如图,在ABC 中,AC=BC=2,AB=1,将它沿 AB 翻折得到 ABD,则四边形 ADBC 的形状是 菱 形,点 P、E、F 分别为线段 AB、AD、DB 的任意点,则 PE+PF 的最小值是 【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形;作出 F 关于 AB 的对称点 M,再过 M 作 MEAD,交 ABA 于点 P,此时 PE+PF 最小,求出 ME 即可 【解答】解:ABC 沿 AB 翻折得到ABD, AC=AD,BC=BD, AC=BC, 12 AC=AD=BC=BD, 四边形 ADBC 是菱形, 故答案为菱;
17、如图 作出 F 关于 AB 的对称点 M,再过 M 作 MEAD,交 ABA 于点 P,此时 PE+PF 最小,此时 PE+PF=ME, 过点 A 作 ANBC, ADBC, ME=AN, 作 CHAB, AC=BC, AH=, 由勾股定理可得,CH=, , 可得,AN=, ME=AN=, PE+PF 最小为, 故答案为 【点评】此题主要考查路径和最短问题,会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实 分析出最短路径是解题的关键 13 5.(2018山东青岛3 分)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 5,点 E、F 分别在 AD、DC 上, AE=DF=2,BE 与 AF 相交于点 G,点
18、H 为 BF 的中点,连接 GH,则 GH 的长为 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD,每一个角都是直角可得BAE=D=90, 然后利用“边角边”证明ABEDAF 得ABE=DAF,进一步得AGE=BGF=90,从而 知 GH=BF,利用勾股定理求出 BF 的长即可得出答案 【解答】解:四边形 ABCD 为正方形, BAE=D=90,AB=AD, 在ABE 和DAF 中, , ABEDAF(SAS) , ABE=DAF, ABE+BEA=90, DAF+BEA=90, AGE=BGF=90, 点 H 为 BF 的中点, GH=BF, BC=5、CF=CDDF=52=3, BF=,
19、 GH=BF=, 故答案为: 【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形两锐角互余等知 识,掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键 14 6. (2018江苏盐城3 分)如图,在直角 中, , , , 、 分别为边 、 上的两个动点,若要使 是等腰三角形且 是直角三 角形,则 _ 16.【答案】或 【考点】等腰三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】解:当BPQ 是直角三角形时,有两种情况:BPQ=90 度,BQP=90 度。 在直角 中, , , ,则 AB=10,AC:BC:AB=3:4:5.( 1 ) 当BPQ=90 度,则BPQ
20、BCA,则 PQ:BP:BQ=AC:BC:AB=3:4:5, 设 PQ=3x,则 BP=4x,BQ=5x,AQ=AB-BQ=10-5x, 此时AQP 为钝角,则当APQ 是等腰三角形时,只有 AQ=PQ, 则 10-5x=3x,解得 x= , 则 AQ=10-5x= ; ( 2 )当BQP =90 度,则BQPBCA,则 PQ:BQ:BP=AC:BC:AB=3:4:5, 设 PQ=3x,则 BQ=4x,BP=5x,AQ=AB-BQ=10-4x, 此时AQP 为直角,则当APQ 是等腰三角形时,只有 AQ=PQ, 则 10-4x=3x,解得 x= , 则 AQ=10-4x= ; 故答案为: 或
21、【分析】要同时使 是等腰三角形且 是直角三角形,要先找突破口,可先确定 当APQ 是等腰三角形时,再讨论BPQ 是直角三角形可能的情况;或者先确定BPQ 是直角 三角形,再讨论APQ 是等腰三角形的情况;此题先确定BPQ 是直角三角形容易一些: BPQ 是直角三角形有两种情况,根据相似的判定和性质可得到BQP 与BCA 相似,可得到 15 BQP 三边之比,设出未知数表示出三边的长度,再讨论APQ 是等腰三角形时,是哪两条相等, 构造方程解出未知数即可,最后求出 AQ。 三三. .解答题解答题 1、 (20182018湖北省宜昌湖北省宜昌8 分)如图,在ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径
22、的圆交 AC 于点 D, 交 BC 于点 E,延长 AE 至点 F,使 EF=AE,连接 FB,FC (1)求证:四边形 ABFC 是菱形; (2)若 AD=7,BE=2,求半圆和菱形 ABFC 的面积 【分析】 (1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形,证明是平行四边形,再根据邻边 相等的平行四边形是菱形即可证明; (2)设 CD=x,连接 BD利用勾股定理构建方程即可解决问题; 【解答】 (1)证明:AB 是直径,AEB=90,AEBC,AB=AC, BE=CE,AE=EF,四边形 ABFC 是平行四边形, AC=AB,四边形 ABFC 是菱形 (2)设 CD=x连接 BDAB 是直径
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