2019春九年级数学下册第24章圆小专题一旋转变换的证明与计算课时作业新版沪科版2019031431.wps
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1、小专题( (一) ) 旋转变换的证明与计算 1.任意一个图形绕旋转中心旋转 (0180),旋转后的图形与原图形的对应线段 所在直线的夹角都为 或 180-. 2.当条件比较分散时,可通过旋转变换把分散的条件集中在一个三角形中,其中旋转的角 度是构图的关键.通常把图形旋转到特定的位置或特殊的角度,当三角形绕某一顶点旋转 90 时,可出现等腰直角三角形,当三角形绕某一顶点旋转 60时,可出现等边三角形.于是可把陌 生问题转化为熟悉问题,把复杂问题转化为简单问题. 类型 1 利用旋转变换证明 1.如图,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O. (1)在图 1 中 E 是 OC 上一点,
2、F 是 OB 上一点,且 OE=OF,请问可以通过平移、旋转、翻折中的哪 一种方法,使OAF 变换到OBE 的位置? (2)如图 2,若点 E,F 分别在 OC,OB 的延长线上,并且 OE=OF,试写出线段 AF 与 BE 的数量关系,并 说明理由. 解:(1)旋转,以点 O 为旋转中心,逆时针旋转 90度,可以使OAF 变换到OBE 的位置. (2)AF=BE. 理由:四边形 ABCD 是正方形,ACBD,OA=OB, AOB=BOC=90, AO = BO, 在AOF 和BOE 中, AOF = BOE, OF = OE, AOFBOE(SAS),AF=BE. 类型 2 利用旋转求线段长
3、 1 2. 如图,在ABC 中,AB=AC=2,BAC=45,AEF 是由ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的,连 接 BE,CF 相交于点 D. (1)求证:BE=CF; (2)当四边形 ABDF 为菱形时,求 CD 的长. 解:(1)AEF 是由ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的,AE=AF=AB=AC=2,EAF= BAC=45,BAC+CAE=EAF+CAE,即BAE=CAF, AB = AC, 在ABE 和ACF 中, BAE = CAF, AE = AF, ABEACF,BE=CF. (2)四边形 ABDF 为菱形,DF=AF=2,DFAB,ACF=BAC=45. AC=
4、AF,ACF=AFC=45,ACF 为等腰直角三角形,CF= 2AF=2 2, CD=CF-DF=2 2-2. 类型 3 利用旋转求角的度数 3.如图,菱形 ABCD 是由两个正三角形拼成的,P 是ABD 内任意一点,现把BPD 绕点 B 旋转到 BQC 的位置. (1)当四边形 BPDQ 是平行四边形时,求BPD; (2)当PQD 是等腰直角三角形时,求BPD; 2 (3)若APB=100,且PQD是等腰三角形时,求BPD. 解:(1)连接 DQ.当四边形 BPDQ是平行四边形时,BQ=PD,由已知,得 BQ=BP,BP=PD, BQC由BPD旋转所得,BDP,BCQ为等腰三角形,PDBQ,
5、BDP=DBQ, BDP=DBP=CBQ,DBQ=CBQ,DBC=60=DBQ+CBQ,BDP=DBP=CBQ=30, DPB=180-(BDP+DBP)=120. (2)连接 PQ.当 DP=DQ,PDQ=90时,由旋转的性质可得 BP=BQ,DBQ+CBQ=DBC=60, DBP=CBQ,DBP+DBQ=CBQ+DBQ=60,BPQ为等边三角形,BPQ=60,BPD= BPQ+DPQ=60+45=105,当 DQ=PQ,PQD=90时,同理得BPQ为等边三角形, BPQ=60,BPD=BPQ+DPQ=60+45=105,当 DP=PQ,DPQ=90时,同理得BPQ为等 边三角形,BPQ=6
6、0,BPD=BPQ+DPQ=60+90=150.综上,BPD的度数为 105 或 150. (3)连接AP.由旋转的性质可得BP=BQ,同理得BPQ为等边三角形,则PQB=PBQ=BPQ=60, BD=AB,BQ=BP,PBQ=ABD=60, BQDBPA,则BQD=BPA=100, PQD=BQD-PQB=40.当 PQ=PD时,DPQ=180-2PQD=100,BPD=BPQ+ 1 DPQ=60+100=160;当 PQ=DQ时,DPQ= (180-40)=70,BPD=BPQ+ 2 DPQ=60+70=130;当 PD=DQ时,DPQ=PQD=40,由BPD=BPQ+DPQ=60+40=
7、100. 综上,BPD的度数为 100或 130或 160. 类型 4 利用旋转求面积 4.(德阳中考)如图,将ABC沿 BC翻折得到DBC,再将DBC绕点 C逆时针旋转 60得到 FEC,延长 BD交 EF于点 H,已知ABC=30,BAC=90,AC=1,则四边形 CDHF的面积为 3 . 3 5.(青海中考)请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题: 3 (1)探究 1:如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中,ACB=90,BC=a,将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90 1 得到线段 BD,连接 CD.求证:BCD 的面积为 a2. 2 (2)探究 2:如图 2,在一般的 Rt
8、ABC 中,ACB=90,BC=a,将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得 到线段 BD,连接 CD.请用含 a 的式子表示BCD 的面积,并说明理由. (3)探究 3:如图 3,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,BC=a,将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BD,连接 CD.试探究用含 a 的式子表示BCD 的面积,要有探究过程. 解:(1)如题图 1,过点 D 作 DECB 交 CB 的延长线于点 E,BED=ACB=90,由旋转知 AB=BD,ABD=90,ABC+DBE=90, ACB = BED, A = DBE, AB = BD, A+ABC=90,A=DBE,在
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