浙江专用2020版高考数学大一轮复习高考解答题专项练5解析几何201901184132.docx
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1、高考解答题专项练解析几何1.如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p0),过点A(0,-1)作直线l与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设直线QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.(1)如果p=2,且三角形BPQ的面积为4,求直线l的方程;(2)如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,求MN的长度.解(1)直线l的斜率必定存在,设为k,则l的方程为y=kx-1,因为p=2,把y=kx-1代入x2=4y得x2-4kx+4=0,则=16k2-160,所以k21.设P,Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2为方程x2-4kx+4=0的两个解,因此
2、x1+x2=4k,x1x2=4,所以|PQ|=1+k2|x1-x2|=41+k2k2-1,点B(0,1)到直线l的距离d=2k2+1,由三角形BPQ的面积为4,得1241+k2k2-12k2+1=4,解得k=2,满足k21.因此直线l的方程为2x-y-1=0或2x+y+1=0.(2)把直线l的方程代入x2=2py得x2-2pkx+2p=0,设P,Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2为方程x2-2pkx+2p=0的两个解,因此x1x2=2p,kBP=y1-1x1=x12-2p2px1=x12-x1x22px1=x1-x22p,同理kBQ=x2-x12p,因此kBP+kB
3、Q=0,因为QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,所以QB的斜率为-3,从而BMN=BNM=60,即MNB为正三角形.因为BO为正三角形MNB的高,且|BO|=1,所以|MN|=233.2.(2017浙江高考样卷)如图,已知椭圆x22+y2=1的左、右顶点分别是A,B,设点P(2,t)(t0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.(1)证明:OPBC;(2)若四边形OBPC的面积是325,求t的值.(1)证明设直线PA的方程为y=t22(x+2),由x22+y2=1,y=t22(x+2),整理得(4+t2)x2+22t2x+2t2-8=0,解得x1=-2,x2=42-2t24+t2,则点C的坐标
4、是42-2t24+t2,4t4+t2,故直线BC的斜率kBC=-2t,由于直线OP的斜率kOP=t2,故kBCkOP=-1,则OPBC;(2)解由S四边形OBPC=325,S四边形OBPC=2t3+22t4+t2,得2t3+22t4+t2=325,整理得(t-1)(5t2+2t+12)=0,5t2+2t+120,t=1.3.(2018浙江4月摸底)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且该抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)已知抛物线上一点M(t,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MDME,判断直线DE是否过定点?并说明理由.解(1)由题意设抛物
5、线C的方程为y2=2px(p0),其准线方程为x=-p2,点P(4,m)到焦点的距离等于点P到其准线的距离,4+p2=5.p=2.抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)可得点M(4,4),可得直线DE的斜率不为0,设直线DE的方程为x=my+t,联立x=my+t,y2=4x,得y2-4my-4t=0,则=16m2+16t0.(*)设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4t.MDME=(x1-4,y1-4)(x2-4,y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=y124y224-4y124+y224+16+y1y2-4(y1
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