第五章留数及应用.ppt
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1、1 第五章 留数及其应用 第五章 留数及其应用 5.2 留数 5.1 孤立奇点 5.3 留数在定积分计算中的应用 2 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 5.1 孤立奇点 一、引言 二、零点 三、孤立奇点 四、孤立奇点的分类 五、如何进行孤立奇点的分类 六、如何判断极点的阶数 3 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 一、引言 本章重点解决闭路积分问题。 D r C 如图,考虑积分 (1) 若 在 G 上连续,在 D 上解析, 则 (2) 若 在 D 上有唯一的奇点 则 此时,将函数 在 点的邻域内进行洛朗展开, 由 则积分 “不难? ” 得到。 G 4 5.1 孤立奇点 第五章 留数及
2、其应用 三、孤立奇点 邻域 内解析, 则称 为 孤立奇点。 使得 在去心 且存在 定义 设 为 的奇点, 例 为孤立奇点。 例 原点及负实轴上的点均为奇点, 但不是孤立奇点。 P102 定义 5.1 5 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 例 (1) 令 为孤立奇点; (2) 也是奇点, 但不是孤立奇点。 邻域 内解析, 则称 为 孤立奇点。 使得 在去心 定义 设 为 的奇点, 且存在 三、孤立奇点 P102 例5.3 6 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 将 在 内 定义 设 为 的孤立奇点, 展开为洛朗级数
3、: (1) 若 有 则称 为 的可去奇点。 ( 即不含负幂次项 ) P103 7 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义 将 在 内 设 为 的孤立奇点, 展开为洛朗级数: 则称 为 的 N 阶极点; ( 即含有限个负幂次项 ) (2) 若 有 且 有 特别地,当 时,称 为 的简单极点。 8 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义 将 在 内 设 为 的孤立奇点, 展开为洛朗级数: ( 即含无限个负幂次项 ) (3) 若 有 则称 为 的
4、本性奇点。 9 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义 将 在 内 设 为 的孤立奇点, 展开为洛朗级数: 小结 (1) 可去奇点 不含负幂次项; (2) N 阶极点 含有限多的负幂次项, 且最高负幂次为 N; (3) 本性奇点 含有无穷多的负幂次项。 可去奇点 本性奇点 N 阶极点 10 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 可去奇点 本性奇点 N 阶极点 (2) N 阶极点 (3) 本性奇点 不存在且不为 (常数); (1) 可去奇点 方法 注 在求 时,可使用罗比达法则。 (该条件只能判断是极点) N 阶极点
5、 五、如何进行孤立奇点的分类 P103 105 定理 5.1 5.3 11 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (不含负幂次项) 解 是 的奇点, 由 是 的可去奇点。 可知, 将 在 的去心邻域内的洛朗级数,有 注 如果约定 在 点的值为 1, 则 在 点 就解析了, 因此称 为 的可去奇点。 P105 例5.4 12 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解 是 的奇点, 考察极限 是 的本性奇点。 因此, 将 在 的去心邻域内的洛朗级数,有 注 (含无穷多个负幂次项) 由 不存在且不为 可知, 13 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (含有限个负幂次项,且最高负幂次为 2 )
6、 解 是 的奇点, 由 是 的极点。 可知, 将 在 的去心邻域内的洛朗级数,有 注 可见, 为 的二阶极点。 14 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解 是 的奇点, 由 是 的极点。 可知, 将 在 的去心邻域内的洛朗级数,有 注 可见, 为 的三阶极点。 含有限个负幂次项 且最高负幂次为 3 是否还有其它办法来判断极点的阶数呢? 问题 15 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 六、如何判断极点的阶数 则 为 的 N 阶极点。 1. 若 其中 在 点的邻域内解析, 且 为 的 N 阶极点的充要条件(即定义)为: 事实上, 其中, 在 点的邻域内解析, 且 P105 式(5.1)
7、16 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 六、如何判断极点的阶数 2. 若 零点, 且 为 的 n 阶零点,为 的 m 阶 则 (1) 当 时, (2) 当 时, 即 为 的可去奇点。 为 的 (n - m) 阶极点。 P107 定理 5.5 17 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是 的一阶极点。 判断函数 的奇点的类型。 例 是 的二阶极点。 解 由于 是 的可去奇点, 故 解 由于 是 的一阶极点, 故 18 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解 令 故 是 的一阶极点。 由于 是 的一阶零点, 判断函数 的奇点的类型。 例 但不是 的零点, 解 令 由于 是 的二阶零点
8、, 故 是 的二阶极点。 19 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 由于 是 的四阶零点, 解 故 是 的二阶极点。 将 在 的去心邻域内的洛朗级数,有 因此, 为 的二阶极点。 注 直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握 且是 的二阶零点, 20 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 由于 是 的三阶零点, 解 故 是 的二阶极点。 判断函数 的奇点的类型。 例 由于 是 的三阶零点, 解 故 是 的二阶极点。 什么情况下会出现本性奇点呢 ? 且是 的一阶零点, 且是 的一阶零点, 21 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 为可去奇点。 为可去奇点。 判断下列函数的奇点
9、的类型。 例 上述函数都有一个共同点: 为本性奇点。 为本性奇点。 为本性奇点。 22 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 5.2 留数 一、留数的概念 二、留数的计算方法 三、留数定理 四、函数在无穷远点的留数 23 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 一、留数的概念 将 在 的去心邻域 设 为函数 的孤立奇点, 定义 称 为 在 处的留数, 记作: 内展开成洛朗级数: (两边积分) 其中,C 是 的去心邻域内绕 的一条简单闭曲线。 P112 定义 5.4 (留数的产生) 24 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 而且在使用该方法时,并不需要知道奇点的类型。 二、留数的计算方法
10、若 为 的可去奇点, 方法 1. 可去奇点 若 为 的本性奇点, 方法 2. 本性奇点 则 “只好” 将 在 的去心 邻域内展开成洛朗级数。 (1) 在具体展开的时候,并不需要写出 “完整” 的洛朗级数, 注 只需将其中负一次幂的系数 求出来就可以了。 (2) 对于不是本性奇点的情况,该方法有时也是很有效的, 则 25 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 理由 二、留数的计算方法 3. 极点 方法 (法则) 若 为 的 m 阶极点, P115 法则 26 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (法则) (1) 若 为 的简单极点, 特别 则 (2) 若 且 在 点解析, 则 P114 法
11、则 P114 法则 二、留数的计算方法 方法 3. 极点 P115 法则 若 为 的 m 阶极点, 27 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 二、留数的计算方法 3. 极点 特别 则 (2) 若 且 在 点解析, 事实上,此时 为 的简单极点, 故有 28 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是 的可去奇 点, 解 (1) 和 均为 的一阶极点, (2) 29 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (罗比达法则) 是 的三阶极点, 解 (1) 为 的二阶极点,(2) 30 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (麻烦) 函数 有四个简单极点, 解 同理 31 5.1 孤立奇点 第五
12、章 留数及其应用 是 的本性奇点, 解 将 在 的去心邻域内洛朗展开, 有 32 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是 的本性奇点, 解 将 在 的去心邻域内洛朗展开, 有 33 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是 的本性奇点, 解 将 在 的去心邻域内洛朗展开, 有 34 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是 的一阶极点, 解 (1) 是 的本性奇点, (2) (证明是本性奇点?) 35 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 方法一 利用洛朗展式求留数 解 将 在 的去心邻域展开, 得 36 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 由于 是 三阶极点, 解 方法二 利用
13、极点的留数计算法则求解 (罗比达法则) 因此有 (好麻烦!) 37 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解 方法二 利用极点的留数计算法则求解 若 “不幸” 将 判断成了 的六阶极点, 巧合? (非也!) 注 (1) 此类函数求留数,可考虑利用洛朗展式。 (2) 若此类函数求闭路积分,则可考虑利用高阶导公式, 而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。 38 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 D C 三、留数定理 处处解析,在边界 C 上连续, 定理 设 在区域 D 内除有限个孤立奇点 外 注意 只需计算积分曲线 C 所围成的有限区域内奇点的留数。 如图,将孤立奇点用含于 D 内且 证
14、明 互不重叠的圆圈包围起来, 根据复合闭路定理有 则 P113 定理 5.7 39 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解 被积函数 在 内有两个奇点: 可去奇点 一阶极点 P116 例5.21 40 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解 被积函数 在 内有两个奇点: 一阶极点 二阶极点 41 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解 被积函数 的奇点为 但在 内只有两个简单级点: 42 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解 被积函数 在 内有两个奇点: 简单级点 43 5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解 令 为 的本性奇点, 将 在 内展开为洛朗级数: 44 5.1
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