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1、第五章 线性系统的频率分析 5.1 频率响应特性的概念 G(s) R(s)Y(s) 频率响应特性分析方法的基础是: 系统的频率特性 时域信号x(t) 频谱X(jw) 傅立叶变换 线性定常系统 (脉冲响应,传递函数) 系统的频率响应( 频率响应曲线) 系统的输入、输出特性(性能指标)和频率特性的关系? G(s) R(s)Y(s) 对于线性定常(时不变)系统, 当输入信号为正弦信号时,系统 的稳态响应为与输入同频率的正 弦信号,其幅值与相角是系统特 性和频率的函数。 频率响应 绘制bode图 绘制nyquist图 Nyquist稳定判据 频域性能指标 特点: 可以通过实验获得系统的频率特性。 可以
2、比较方便地描述系统的高频特性 频率响应曲线 G(s) 第五章 线性系统的频率分析 5.1 频率响应特性的概念 5.1 一阶系统对正弦信号的响应 1+G(s)H(s) G(s)H(s)1 Y(s)=R(s)/H(s) H(s)=1 Y(s)=R(s) 5.1.1 频率响应特性的概念 系统的传递函数 fai(s),输入信号r(t)=Asinwt 5.1.2 频率特性定义 5.1.1 频率响应特性的概念 输入信号 R(s)C(s) R(s)C(s) 系统1 系统2 观察系统1和系统2在r(t)作用下的输出波形 5.1 一阶系统对正弦信号的响应 1+G(s)H(s) G(s)H(s)1 Y(s)=R(
3、s)/H(s) H(s)=1 Y(s)=R(s) 5.1 二阶系统对正弦信号的响应 5.1 二阶系统对正弦信号的响应 5.1.2 频率特性定义 对于稳定的传递函数为G(s) 的系统, 当输入 系统的正弦响应曲线隐含着系统的结构和参数(模型) 称为系统G(s)的频率特性 可通过实验方法得到G(jw) 输出的幅值 输入的幅值 输出的相位-输入的相位 5.1.2 频率特性定义 问题:求图示系统在 r(t)=2sin2t 作用下的稳定输 出和稳态误差。 R(s) E(s) C(s) 5.1.2 频率特性的定义 输出的幅值 输入的幅值 输出的相位-输入的相位 (3) 幅频特性 相频特性 5.1.2 频率
4、特性的定义 频率特性图 极坐标图(幅相频率特性图、Nyquist图) bode图(对数频率特性曲线,伯德图) 5.1.2 频率特性的定义 例:惯性环节 1/(Ts+1) jw -1/T S平面 Re Im 5.1.2 频率特性的定义 S平面 1 Re Im 1 5.1.2 频率特性的定义 Bode 图:横坐标以对数均匀分度:(频率 rad/s) 纵坐标:对数幅频特性=20log10G(jw) (分贝,db) 相频特性 (线性分度) 十倍频程 十倍频程 一倍频程 1 2 4 8 10 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.301 0.477 0.602 0.699 0.903
5、 1 5.1.2 频率特性的定义 十倍频程 1 2 4 8 10 例如:画出积分环节 1/s的bode图 -20 5.1.2 频率特性的定义 通过读取频率特性曲线 可了解系统的模型 可得到系统的性能 直接在频率特性曲 线上 判断系统的稳定性 确定系统的性能 5.2 典型环节的频率特性 典型环节的频率响应特性曲线 1) 比例(增益) k 2) 积分 1/s 3) 微分 s 4) 惯性环节 1/(Ts+1) 5) 一阶微分 6) 二阶系统 7)二 微分 5.2典型环节的频率特性 1) G(jw)=k 0.1 1 20log(k ) 写出幅频和相频的表达式 Re Im k 0.1 1 Bode图 极
6、坐标图 5.2典型环节的频率特性 2) G(jw)=1/jw 写出幅频和相频的表达式 Re Im 0.1 1 Bode图 极坐标图 0.1 0.2 1 20 5.2典型环节的频率特性 0.1 0.2 1 10 20log(k ) k 例如:画出 1)G(jw)=10/jw 2) G(jw)=2/jw 的bode图和极坐标图.已知 lg2=0.301 5.2典型环节的频率特性 3) G(jw)=jw 写出幅频和相频的表达式 Re Im 0.1 1 Bode图极坐标图 0.1 1 -20 5.2典型环节的频率特性 写出幅频和相频的表达式 极坐标图 1 Re Im 1 5.2典型环节的频率特性 1/
7、T Bode 图: 10/T -20 渐进线, 转折频率 交接频率 5.2典型环节的频率特性 1/T 相频特性 10/T 900 450 -450 -900 相频特性没 有渐进线 5.2典型环节的频率特性 写出幅频和相频的表达式 极坐标图 Re Im 1 5.2典型环节的频率特性 1/T Bode 图: 10/T -20 渐进线, 转折频率 交接频率 5.2典型环节的频率特性 1/T 10/T 900 450 -450 -900 5.2典型环节的频率特性p358 6) 写出幅频和相频的表达式 5.2典型环节的频率特性p358 6) jw -1/T S平面 Re Im 极坐标图 Re Im 1
8、5.2典型环节的频率特性 6) 阻尼逐 渐减小 5.2典型环节的频率特性p358 谐振频率 谐振峰值 Bode图 5.2典型环节的频率特性p358 wn w L(w)(db) 10wn -40 谐振频率点 谐振峰值 5.2典型环节的频率特性p358 7) 二阶微分 写出幅频和相频的表达式 1 5.2典型环节的频率特性p358 Bode图 5.2典型环节的频率特性p358 8) 延迟环节 写出幅频和相频的表达式 极坐标图 对数幅频特性 曲线? 5.2典型环节的频率特性p358 wn w L(w)(db) 10wn -40 谐振频率点 谐振峰值 5.3 系统的开环频率特性 开环频率特性(极坐标图)
9、1 jw -1 -0.5 Re Im 5.3 系统的开环频率特性 开环频率特性(极坐标图)2 jw -0.5 Re Im 5.3 系统的开环频率特性 开环频率特性(极坐标图)3 jw -0.5 Re Im 5.3 系统的开环频率特性 开环频率特性(极坐标图)4 5.3 系统的开环频率特性 请画出下列系统的极坐标图 5.3 系统的开环频率特性 开环频率特性(极坐标图)5 jw -0.5 Re Im 5.3 系统的开环频率特性 开环频率特性(极坐标图)5 起点:零型系统 1型及1型以上系统 5.3 系统的开环频率特性 开环频率特性(极坐标图)5 终点 : 与坐标轴的交点 5.3 系统的开环频率特性
10、 画出下列开环频率特性(极坐标图)6 终点 : 相频特性 起点: 5.3 系统的开环频率特性 画出下列开环频率特性(极坐标图)7 非最小相位系统 1 -2 第5章 作业 第一次作业 5-1 5-4 5.3 系统的开环频率特性 Bode图 5.3 系统的开环频率特性 步骤: 1。低频段渐进线的确定 由积分环节和开环增益确定(斜率,交点) 2。转折频率及转折后斜率的变化 惯性环节 -20db 振荡环节 -40db 微分环节 20db 二阶微分 40db Bode图 8.3 开环系统的bode图绘制 例1 G(s)=4/(s+1)(s+2)=2/(s+1)(0.5s+1) 开环增益 k=2,无积分环
11、节 转折频率 w 斜率db 1 -20 2 -20 低频段 斜率=0 L(w ) w 1 2 W2 L(w)= 20logK-20logw-20log0.5w 20logK-20logw-20log0.5w 5.3 开环系统的bode图绘制 例2 G(s)=20/s(s+2)=10/s(0.5s+1) 开环增益 k=10,一个积分环节 转折频率 w 斜率db 低频段 斜率=-20 2 -20 W2 L(w)=20logK-20logw-20log0.5w , w=5, L(5)=20logK-20logw-20log0.5w=20log10/5*0.5*5=20log5=14 20logK-2
12、0logwc-20log0.5wc=0 k./wc/0.5wc=1 ,解 wc=2sqrt(5)=4.47 Wc=0.425 5.3 开环系统的bode图绘制 例1 G(s)=10(0.5s+1)/s(s+1)(0.1s+1) 开环增益 k=10,1积分环节 转折频率 w 斜率db 低频段 斜率=-20 1 -20 2 20 10 -20 W10 L(w)= 20logK-20logw-20logw+20log0.5w-20log0.1w 5.3 最小相角系统 1) G(s)=(s+z)/(s+p) 2) G(s)=(s-z)/(s+p) -p -z jw jw -p z 8.5 频域性能指标
13、 闭环系统 带宽频率,谐振频率和谐振峰值 带宽频率 , 谐振频率 系统响应速度 谐振峰值超调量 稳态性能 开环频率特性 的低频段 部分稳态性能 5.4 频域稳定性 5.4.1 引言 开环传递函数G(s)H(s)=L(s) F(s)=1+L(s)=0 5.4.1 幅角原理 G(s) H(s) 设 F(s)=2s+1 s平面上的单位正 方形闭合曲线经过F(s)映射为 s平面F(s)平面 AD C B A BC D u v 5.4 频域稳定性 G(s) H(s) N(s): 最高次为m次 D(s):最高次为n次,n=m F(s)分子分母的阶次相同均为n F(s)的零点z-闭环的极点 F(s)的极点p
14、-开环的极点 F(s)与G(s)H(s)只差常数1 5 频域稳定性 Cauchy定理(相角原理): 如果闭合曲线以顺时针方向为正,在s平面上包围了 F(s)的个z零点和p个极点,但不经过任何一个F(s)零点 和极点,那么,对应的映射曲线也以顺时针方向为正, 在F(s)平面上包围原点N=z-p周. s平面 F平面 s1 F(s1 ) F(s)的相角: 5 频域稳定性 F(s)=1+G(s)H(s) F(s)=1+G(s)H(s) F(s)绕原点的周数 = G(s)H(s)绕(-1,j0)点的周数 Z=N+P 将封闭曲线扩展为整个右半面; P:开环系统在右半平面极点的个数; N:G(jw)H(jw
15、)绕(-1,j0)点顺时针转的周数; Z:闭环系统在右半平面极点的个数; W=- W= R= jw 当 s沿左边的半圆顺时针取值时,L(s)的映射: S=jw,w= G(s)H(s)=GH(jw) L(s)=0 5。4 Nyquist 稳定判据 当开环传递函数G(s)H(s)在s右半平面内没有极点时,闭环 系统稳定的充要条件是:G(jw)H(jw)的Nyquist曲线不包围( -1,j0)点。(若P=0,要使Z=0,则要求N=0) 闭环系统稳定的充要条件是: G(jw)H(jw)的Nyquist曲线沿 逆时针方向包围(-1,0j)点的周数等于G(s)H(s)在右半平 面内极点的个数。(若欲使Z
16、=0,则要求N=-P) Z=N+P 例如: 5.4 频域稳定性 jw GH(jw): N=0, P=0, 则 Z=N+P=0 GH(jw): N=2, P=0, 则 Z=N+P=2 红 绿 k当w由零变到正无时,G(jw)H(jw) Nyquist曲线顺时针方向包围(-1 ,0j)点的圈数为R, N=2R: 5。4 Nyquist 稳定判据 S平面原点的小半园可以表示为 从0-变到0+, 从-900,变到900, S平面的原点在G(s)H(s)平面上的映射是半径为无大的半园, 方向为顺时针。从900,变到-900 5 频域稳定性 jw G1(jw): R=0, P=0, 则 Z=N+P=0 G
17、2(jw): R=1, P=0, 则 Z=2R+P=2 红 绿 5。4 Nyquist 稳定判据 S平面原点的小半园可以表示为 从0-变到0+, 从-900,变到900, S平面的原点在G(s)H(s)平面上的映射是半径为无大的园, 方向为顺时针。从180到-180 5。4 Nyquist 稳定判据 条件稳定系统(w=000), 开环系统在 右半平面无极点,判断系统的稳定性 -1 5。4 Nyquist 稳定判据 例: 某系统的传递函数 在s 右半平面有一个零点的系统 在nyquist 图上判断系统的稳定性: jw-2 -2k w=0+ P=0, R=1/2, (k0.5) z=0+1=1,
18、P=0, R=0, (k0 相角=-180 穿越-1800线(增益1) s平面上(-1,j0)点对应 穿越负实轴(幅值1) -1 (-) (+ ) R=N-N+ L(w) fai(w) (- ) (+ ) -1800 5。4 Nyquist 稳定判据 例题:5-14 教材P224 在bode 图上判断系统的稳定性: 1/T -1800 (-) P=0,R=N-=1 Z=p+2R=2 -40db/dec -60db/dec -2700 5。5 稳定裕度 相角裕度:是GH(s)平面上的Nyquist曲线绕 原点旋转到(-1,j0)所需的旋转相角 增益裕度:当GH(jw)的相角为180时,GH(jw
19、) 幅值的倒数。 h=1/Ag h=20log(1/Ag)=-20logAg 与G(s)H(s)平面上的(-1,j0)点等效的是,在bode图 与0db对数增益和-1800相角对应的点。临界稳定点。 Ag -1 5。5 稳定裕度 对于最小相位系统,相角裕度大于零,幅值裕度h大于1 : 裕度大,系统稳定程度好;: 相角裕度小于零,幅值裕度h小于1,则系统不稳定。 20log(1/h)=-20logh 与G(s)H(s)平面上的(-1,j0)点等效的是,在bode图 与0db对数增益和-1800相角对应的点。临界稳定点。 Ag -1 5。5 稳定裕度 与G(s)H(s)平面上的(-1,j0)点等效
20、的是,在bode图 与0db对数增益和-1800相角对应的点。临界稳定点。 Ag -1 问题 :对于最小相位,且系统稳定,这时h1,还是h1? 相位稳定裕度小于零还是大于零? 5。5稳定裕度 5。5稳定裕度 5。5稳定裕度 5。5稳定裕度 5。5稳定裕度 5。5稳定裕度 5。5稳定裕度 欠阻尼情况下阻尼比和相度裕度的近似关系为: 一般情况下系统频域相设计的度裕度为450750 5。5稳定裕度 例题5-16 教材P227 -40db/dec -20db/dec -60db/dec 1 3.16 10 1W10 L(W)=2lgJK-40lgW+20lgw 5。6 闭环频率特性 闭环频率特性的一般
21、形式 系统带宽 谐振频率 零频幅值 最大幅值 谐振幅值 5。6 闭环频率特性 闭环频率特性的矢量表示法 -1 G(jw) 1+G(jw ) 5。7 频率特性分析 5.7.1 用开环频率特性分析系统的性能 (1)稳态特性与开环频率特性的关系 开环增益和积分环节的个数有关 开环频率特性的低频段稳态特性 -20*v db/dec L(w) w W1=? (2) 动态特性与开环频率特性的关系 5.7.1 用开环频率特性分析系统的性能 时域指标:Mp%, ts 单位反馈的典型二阶系统 相角裕度,截止频率 (2) 动态特性与开环频率特性的关系 5。 频率特性分析 二阶系统的Mp%, ts 5。 频率特性分
22、析 二阶系统的Mp%, ts 调节时间与相角裕度,截止频率有关 相角裕度相同的系统,截止频率大,调节时间小。 5.7.1 用开环频率特性分析系统的性能 高阶系统 闭环动态性能主要取决于开环对数幅频特性的中频段 5。 频率特性分析 用闭环频率特性分析系统的动态性能 典型二阶系统 幅值与谐振峰值 Mp%=20%- 30%, 5。 频率特性分析 用闭环频率特性分析系统的动态性能 系统带宽 调节时间 对于给定的谐振峰值,调节时间与带宽频率成反比。系统 带宽大,快速性好。 5。 频率特性分析 开环指标与闭环指标的关系 Bode, nyquist ngrid margin 5。8 习题 教材P241 例
23、5-26 教材P2412 例 5-27 5。8 习题 教材P2412 例 5-27 9。9 频域中的PID控制器p432 900 -900 9。9 频域中的PID控制器p432 1/T 9。3 校正实验要求 实验5(实验指导书的实验三) 原 系 统 结 构 校 正 后 的 系 统 结 构 9。3 Nyquist 稳定判据 实验5(实验指导书的实验三) 按实验指导书的要求完成实验三的所有内容 当校正网络的参数变化(分子的时间常数变化 ,可取0.3和0.7左右)重作实验三 采用根轨迹方法或频率响应法在理论上分析实 验结果并和时域仿真结果比较 第5章 作业 第一次作业 5-1 5-4 第二次作业 5
24、-3 5-5 第三次作业 5-6 5-7 5-10 第四次作业 5-12 5-15 要求:画出bode图,计算相角裕度和截止频率,用频域时域近 似方法换算为时域指标,再用时域仿真方法验证。可用Matlab 第5章 作业点评 第一次作业 5-1 略 5-4 画极坐标草图 第5章 作业点评 第一次作业 5-1 略 5-4 画极坐标草图 第5章 作业点评 第二次作业 5-3 画bode图 5-5 主要是相频特性 增益与振荡环节 的串联 相频特性 第5章 作业点评 第二次作业 5-5 由bode图 写出传递函数 缺少增益 缺少增益 第5章 作业点评 第三次作业 5-6画幅相曲线和bode图 5-7 5
25、-10 1 T1/T2 1/T1 -1 T1/T2 第5章 作业点评 第三次作业 5-6画幅相曲线和bode图 5-7 5-10 1/T1 -T1/T2 1 第5章 作业点评 第三次作业 5-7 求幅值裕度h 和相位裕度 5-10 第5章 作业点评 第三次作业 5-7 求幅值裕度h 和相位裕度 5-10 第5章 作业点评 第三次作业 5-7 求幅值裕度h 和相位裕度 5-10 Wc=0.511 K=0.57 第5章 作业点评 第三次作业 5-10 判别稳定性 W=0 第5章 作业点评 第四次作业 5-1 截止频率提高a倍,相位裕度保持不变,T,k=? L(W) 1/T -1800 1/T 第5章 作业点评 第四次作业 5-1 截止频率提高a倍,相位裕度保持不变,T,k=? 第5章 作业点评 同理可以证明: 截止频率1小于交接频率1/T1,截止频率2小于交接频率1/T2,的情况 截止频率1小于交接频率1/T1,截止频率2大于交接频率1/T2,的情况 结论相同即 L(W) 1/T1 1/T2 第5章 作业点评 第四次作业 5-1 截止频率提高a倍,相位裕度保持不变,T,k=?
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