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1、三、機率(三、機率( Probability) 劉仁沛教授 國立台灣大學農藝學研究 所生物統計組 國家衛生研究院生物統計 與生統資訊組 jpliuntu.edu.tw 機率概念 (Concept of Probability) 樣品空間及事件 (Sample Space and Events) 機率運算法則 (Elementary Probability Rules) 條件機率及獨立 (Conditional Probability) 試驗試驗 (Experiment) l一個收集不定結果 (Outcome)之觀測值的過 程, 每一次試驗只有一個結果(Outcome) l例: 擲硬幣一次 二個
2、可能的結果:正面(H)或反面 (T) 但每次只有一結果出現 而且在擲硬幣前不知會觀測到哪一個結 果 但可計算每一種結果出現的機率 機率機率 (Probability) 1.機率是介於 0與1之間 2.所有結果之機率和為1 例 擲公平硬幣 (fair coin)一次 出現正面的機率為 0.5 出現反面的機率為 0.5 均在0與1之間 而且只有正、反面二種結果 0.5+0.51 樣品空間樣品空間 (Sample Space) l樣品空間 (Sample Space) 試驗所有可能結果的集合 例:擲硬幣一次 H,T 擲骰子一次 1,2,3,4,5,6 夫婦二個小孩的性別 男男 ,女女,男女,女男 B
3、B, GG, BG, GB 事件事件 (Event) 事件為樣品空間的子集合 例子:夫婦二個小孩至少一人為女孩 GG,BG,GB 擲骰子二次其結果大於3 4,5,6 事件機率事件機率 (Probability of an Event) l事件機率為事件中所有結果機率之和 l若試驗中與一結果發生機率均相同 若以E代表事件 則以P(E)代表事件機率 事件機率事件機率 (Probability of an Event) l例: 夫婦二個小孩的性別 樣品空間 BB,GG,BG,GB 可能結果之總數 4 至少一人為女孩 EGG,BG,GB 事件中結果之個數3 P(E)3/40.75 機率運算法則機率運算
4、法則 1.事件E之補集合 Ec之機率為 P(Ec)1P(E) P(E) P(Ec)1 例:夫婦二個小孩的性別 E:至少一人為女孩之補集 GG,BG,GB Ec:兩人均為男孩 BB P(Ec)1/41P(E)13/4 機率運算法則機率運算法則 2.加法法則 A與B二事件之交集 (Intersection)AB 包括屬於 A事件及 B事件的結果 A與B二事件之聯集 (Union)AB 包括屬於 A事件或 B事件的結果 lVenn Diagram lP(AB)P(A)+P(B)-P(AB) l例: A:20歲 B:女性 lP(A)=P(20歲)=35/50=0.7 lP(B)=P(女性)=30/50
5、=0.6 lP(AB)=P(20歲及女性 )=21/50=0.42 lP(AB)P(20歲或女性 )=0.70+0.60-0.42=0.88 年齡 性別20歲非20歲和 男14620 女21930 和351550 互斥事件互斥事件 (Mutually Exclusive Events) l互斥事件 (Mutually Exclusive Events) 若A事件與 B事件均無相同的結果 AB P(AB)=0 P(AB)=P(A)+P(B) 互斥事件互斥事件 (Mutually Exclusive Events) l例:隨機抽取一張撲克牌 A:結果為 J B:結果為 Q C:結果為紅牌 (紅心或
6、方塊 ) AB= P(AB)=0 P(AB)=P(A)+P(B)= P(AC)=P(A)+P(C)-P(AC) 條件機率條件機率 (Conditional Probability) l條件機率 A:20歲 B:女性 學生為 20歲中女性之機率 P(B|A)=21/35=0.6 年齡 性別20歲非20歲和 男14620 女21930 和351550 條件機率條件機率 (Conditional Probability) lA, B兩事件 A事件下 B事件發生之條件機率 條件機率條件機率 (Conditional Probability) l乘法法則 P(AB)=P(B|A)P(A) =P(A|B)
7、P(B) l獨立事件:兩個互不影響的事件 P(B|A)=P(B) P(AB)=P(B|A)P(A) =P(B) P(A) =P(A|B)P(B) =P(A) P(B) 條件機率條件機率 (Conditional Probability) l例:擲硬幣二次 第二次 第一次HT和 H112 T112 224 A:第一次為正面 B:第二次為正面 P(A)=P(第一次為正面 )=2/4=1/2 P(B)=P(第二次為正面 )=2/4=1/2 P(B|A)=P(第二次為正面第一次為正面) 第二次為正面或反面與第一次無關 P(AB)=1/4=(1/2)(1/2)=P(A)P(B) 總結總結 (Summary) 機率 機率概念 樣品空間與事件 0P(E) 1 加法法則 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 互斥事件 =P(AB)=0 條件機率 P(A|B)=P(AB)/P(B) 獨立事件: P(A|B)=P(A); P(B|A)=P(B); P(AB)=P(A)P(B)
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