第五章网格生成与坐标变换.ppt
《第五章网格生成与坐标变换.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第五章网格生成与坐标变换.ppt(92页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、计算流体动力学 Computational fluid mechanics 机械与动力工程学院 凌祥 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 第五章 网格生成与坐标变换 l 方程的一般变换 l 度量和雅可比行列式 l 再论适合CFD使用的控制方程 l 注释 l 拉伸(压缩)网格 l 贴体坐标系:椭圆型网格生成 l 自适应网格 l 网格生成的进展 l 有限体积网格生成的进展 2 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology
2、方程的一般变换 考虑二维非定常流场,其自变量为x, y和t.我们要将 物理平面中的自变量(x, y, t)变换成计算平面中的 一组新自变量(, , ),用方程 目前这个变换是以一般形式写出来的.对于实际 应用必须用具体的解析关系给出. (5-1a) (5- 1b) (5-1c) 3 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 方程的一般变换 求导的链式法则,有 在上述表达式中添加下标是为了强调求偏导数的 过程中哪些变量保持不变 (5-2) 4 Nanjing University of TechnologyN
3、anjing University of Technology 方程的一般变换 在连续性方程,动量方程和能量方程中,未知 函数是以导数形式出现,并且要将方程从(x, y, t)空间变换到(, , )空间.根据求导的 链式法则,有 (5- 3) (5-4) (5-5) 5 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 方程的一般变换 考虑第二章推导的粘性流动控制.可以看到方程 的粘性项中包含二阶导数,这些二阶导数导数也 要变换.在式(5-3)中,令 则有 (5-6) 6 Nanjing University of
4、 TechnologyNanjing University of Technology 方程的一般变换 B和C是一个”复合导数”,它们包含了关于(x, y, t)中的某一个自变量和(, , )中另一个自变 量的导数,因此还需要进一步推导.由(5-2)规则得 (5-7) (5-8) 7 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 方程的一般变换 用式(5-7)和式(5-8)代替式(5-6)中B和C所代 表的项,并重新排列各项的顺序,得到 式(5-9)中利用关于和的一阶偏导数,和二 阶偏导数和混合导数乘以不同的度
5、量给出了关 于X的二阶偏导数. (5-9) 8 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 方程的一般变换 接下来,推导关于y的二阶偏导数.令 从式(5-2),有 其中和 (5-10) 9 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 方程的一般变换 利用式(5-4),有 (5-11) (5-12) 式(5-11)和式(5-12)代回式(5-10),并重新排列各项的顺序 ,得到 (5-13) 10 Nanjing Univer
6、sity of TechnologyNanjing University of Technology 方程的一般变换 式(5-13)利用关于和的一阶偏导数,二阶偏导数 和混合偏导数乘以不同的度量,给出了关于y的二阶 偏导数.再接下来,推导二阶混合偏导数,即 其中出现了与式(5-6)中B和C含义相同的项. (5-14) 11 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 方程的一般变换 用式(5-7)和式(5-8)代替式(5-14)中的这两项,并重 新排列各项的顺序,得到 (5-15) 式(5-15)利用关于和的
7、一阶偏导数,二阶 偏导数和混合偏导数乘以不同的度量,给出了 关于x和y的二阶混合偏导数. 12 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 方程的一般变换 例5-1 拉普拉斯方程 将方程(5-16)从(x, y)变换到(, ),其中 = (x, y), = (x, y) (5-16) 13 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 方程的一般变换 利用式(5-9)和式(5-13),得 14 Nanjing Universi
8、ty of TechnologyNanjing University of Technology 方程的一般变换 将上式合并同类项,最终得到 (5-17) 考察方程式(5-16)和式(5-17).前者是物理平面(x, y)上的拉普拉斯方程,后者是计算平面(, )上 经过变换的拉普拉斯方程. 15 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 在式(5-3)到式(5-15)各式中,涉及网格几何性质的 项,如 ,称为度量.在许多应用 中,使用逆变换式(5-1ac) 的逆变换更方便. (5-18a
9、) (5-18b) (5-18c) 在式(5-18ac)中, 和是自变量. 16 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 为了用逆变换式计算方程中的度量,需要建立度 量 等与逆度量 等的关 系式.考虑流动控制方程中的一个未知函数,例如 速度的x分量u.令 ,由变换式(5-18a)式(5 -18b),即 和 ,u的全微分为 (5-19) 17 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列
10、式 由方程(5-19),有 和 (5-20) (5-21) 18 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 式(5-20)和式(5-21)可以看作是两个未知数 和 的方程组,用克莱姆法则.从方程组式 (5 -20)和式(5-21)中解出 ,得到 (5-22a) 19 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 在方程 (5-22)中,分母上的行列式称为雅可比行列 式,记作 (5-22
11、b) 因此,将式(5-22)分子上的行列式展开,可以写成 下面的形式 20 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 (5-23a) 回到方程组式(5-20)和式(5-21),解出 或 (5-23b) 21 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 为了能够进行一般性的讨论,将方程式(5- 23a)和式(5-23b)写成更一般的形式 和 (5-24a) (5-24b) 22 Nan
12、jing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 考虑二维的直接变换 (5-25a) (5-25b) 对比式(5-25ab)与式(5-1ac),会发现从 前面讨论中省略了=t.因为这里讨论只对 空间度量感兴趣,所以忽略了时间的变换. 23 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 根据全微分表达式,从式(5-25a)和式(5-25b)可以得到 或者用矩阵形式表示 (5-26a) (5-26b)
13、(5-27) 24 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式) 现在考虑逆变换 进行全微分,得 或者矩阵形式表示 (5-28a) (5-28b) (5-29a) (5-29b) (5-30) 25 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式) 从式(5-30)解出右边的列向量,也就是用式中2x2 系数矩阵的逆矩阵去乘,得到 比较式(5-27)和式(5-31),得到 (5-31) (5
14、-32) 26 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 根据计算逆矩阵的标准法则,式(5-32)可写为 (5-33) 27 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 考虑式(5-33)分母上的行列式.因为行列式转置后 ,其直不变,我们有 (5-34) 28 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technolo
15、gy 度量和雅可比行列式 由式(5-22a)给出的J的定义可以看出,式(5-34)中的 行列式正好就是变换的雅可比行列式J.将式(5-34) 代入到式(5-33),得到 (5-35) 29 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 比较等式(5-35)中两个矩阵的对应元素,就得到用 逆度量表示的直接度量的关系式,即 (5-36a) (5-36b) (5-36c) (5-36d) 右则公式 给出直接 度量与逆 度量之间 的关系式. 30 Nanjing University of Tech
16、nologyNanjing University of Technology 度量和雅可比行列式 把式(5-36a)和式(5-36b)代入到式(5-3)中,得到 这两个等式与逆度量给出的变换式(5-24a)和式 (5-24b)完全相同,表明结果与前面的分析是一 致的. 31 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 再论适合CFD使用的控制方程 在2.10节,方程(2-93)给出了流动控制方程的强守 恒形式.对于空间二维的非定常流,如果没有源项, 则方程化为 (5-37) 简明起见,只考虑空间二维x, y的
17、情形,而不是三维 x, y, z的情形.但以下的分析可直接推广到三维. 32 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 再论适合CFD使用的控制方程 问题:在计算平面(, )中,方程(5-37)还能写成 守恒形式么?也就是说,变换后的方程还能写成 (5-38) 这样的形式么 ? 33 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 再论适合CFD使用的控制方程 首先,按照导数的变换式(5-3)和(5-4),对方程(5-37)
18、中的变量进行变换,得 用式(5-22a)定义的雅可比行列式J乘以方程(5-39)得 (5-39) (5-40) 34 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 再论适合CFD使用的控制方程 暂时放下方程(5-40),先考虑将 的导数 展开,即 整理后,得到 (5-41) (5-42) 35 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 再论适合CFD使用的控制方程 同样,考虑 对的导数,整理得 (5-43) 用同样的方法展开
19、 和 并整理,得 (5-44) (5-45) 36 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 再论适合CFD使用的控制方程 将式(5-42)式(5-45)代回到方程(5-40)并合并同类项, 得 (5-46) 37 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 再论适合CFD使用的控制方程 但发现,式(5-46)最后两项中用括号括起的部分等于 零,其实,将式(5-36ad)代入到这些项中,就会得到 38 Nanjing Un
20、iversity of TechnologyNanjing University of Technology 再论适合CFD使用的控制方程 于是,方程(5-46)可以写成 其中 (5-48a) (5-48b) (5-48c) (5-47) 39 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 再论适合CFD使用的控制方程 如果将式(5-36ad)代入 和 的表达式(5- 48b)和式(5-48c),可以得到 (5-49a) (5-49b) 其中 和 是用逆度量表示的. 40 Nanjing University
21、of TechnologyNanjing University of Technology 注释 对于实际的问题和实际的几何形状,情况往往是: 要么因为流动问题自身的特性(例如,流过平板的粘性 流,壁面附近需要密集分布大量的网格点) 要么因为边界的形状(例如,需要建立贴体曲线坐标系 的弯曲物面) 需要通过网格变换物理平面中的非均匀网格变换成计 算平面中的均匀往格. 有限体积法不需要这样变换,它能够直接处理物理平 面中的非均匀网格. 41 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 拉伸(压缩)网格 例5-2
22、考虑图5-4所示的物理平面和计算平面.假设 研究的是流过平板的粘性流.在平板的表面附近,速 度迅速变化,如物理平面左边画出的速度剖面所示. 42 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 拉伸(压缩)网格 为了计算这种流动在平板附近的细节,在y方 向上需要使用细的网格,而在远离物面的地方 ,网格可以粗一些,如图5-4a. 在计算平面上应建立均匀网格,如图5-4b,考 察可以发现,在物理平面中,网格被”拉伸” 了. 43 Nanjing University of TechnologyNanjing Univ
23、ersity of Technology 拉伸(压缩)网格 这种被”拉伸”的网格,可以用一个简单的解析变 换就能完成 (5-50a) (5-50b) (5-51a) (5-51b) 逆变换是 44 Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology 拉伸(压缩)网格 在物理平面中,x始终是同一个值.在计算平 面中,也始终不变,所以在x方向上,网格并 没有被拉伸. 水平线就不是这样了,计算平面中的水平线是 均匀分布的,始终不变,然而在物理平面中, 相应的y值发生了变化,对求导 或者 用有限增量代替 和 ,近似地得到 (
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第五 网格 生成 坐标 变换
链接地址:https://www.31doc.com/p-2625431.html