三模块重点学习内容韩信点兵与中国剩余定理.ppt
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1、第三模块重点学习内容 韩信点兵与中国剩余定理 1 u韩信是中国古代一位有名的大元帅。他少年时 就父母双亡,生活困难,曾靠乞讨为生,还经常 受到某些泼皮的欺凌,胯下之辱讲的就是韩信少 年时被泼皮强迫从胯下钻过的事。 u后来他投奔刘邦,展现了他杰出的军事才能, 为刘邦打败了楚霸王项羽立下汗马功劳,开创了 刘汉皇朝四百年的基业。 u民间流传着一些以韩信为主角的有关聪明人的 故事,韩信点兵的故事就是其中的一个。 一、“韩信点兵”的故事与孙子算经中的题目 2 相传有一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋 交战。双方大战一场,楚军不敌,败退回营。而汉军也有 伤亡,只是一时还不知伤亡多少。于是,韩信整顿兵
2、马也 返回大本营,准备清点人数。当行至一山坡时,忽有后军 来报,说有楚军骑兵追来。韩信驰上高坡观看,只见远方 尘土飞扬,杀声震天。汉军本来已经十分疲惫了,这时不 由得人心大乱。韩信仔细地观看敌方,发现来敌不足五百 骑,便急速点兵迎敌。不一会儿,值日副官报告,共有 1035人。他还不放心,决定自己亲自算一下。 1.“韩信点兵”的故事 3 韩信阅兵时,让一队士兵5人一行排队从他面前走 过,他记下最后一行士兵的人数(1人);再让这队士兵6 人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(5 人);再让这队士兵7人一行排队从他面前走过,他记下最 后一行士兵的人数(4人),再让这队士兵11人一行排队从
3、 他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(10人)。然后 韩信就凭这些数,可以求得这队士兵的总人数。 思考题:这里面有什么秘密呢?韩信好像非常重视作 除法时的余数。 “数的除法运算以及余数”是小学数学的 内容。现在,每个学生都具有这样的基础,但能否会运用 就有差别了,你能够分析它吗? 4 约成书于四、五世纪,作者生平和编写年代都不清楚 。现在传本的孙子算经共三卷。卷上叙述算筹记数的 纵横相间制度和筹算乘除法则,卷中举例说明筹算分数算 法和筹算开平方法。卷下第31题,可谓是后世“鸡兔同笼 ”题的始祖,后来传到日本,变成“鹤龟算”。 2.孙子算经 书中是这样叙述的:“今有鸡兔 同笼,上有三十五头,下
4、有九十四足 ,问鸡兔各几何?这四句话的意思是 :有若干只鸡兔同在一个笼子里,从 上面数,有35个头;从下面数,有94 只脚。求笼中各有几只鸡和兔? 孙子算经 5 我国古代数学名著孙子算经中有“物不知数 ”的题目: 今有物不知其数, 三三数之剩2, 五五数之剩3, 七七数之剩2, 问物几何? 孙子算经中的题目 这里面又有什么秘密呢?题目给出的条件,也仅仅是 作除法时的余数。 6 问题: 今有物不知其数,二二数之剩1,三三数之剩2, 四四数之剩3,五五数之剩4,六六数之剩5,七七数之 剩6,八八数之剩7,九九数之剩8,问物几何? 二、问题的解答 1先从另一个问题入手 思考:此问题是否比原问题简单些
5、吗? 7 再从中挑“用5除余4”的数, 一直筛选下去,舍得下功夫,就一定可得结果。并 且看起来,解,还不是唯一的;可能有无穷多个解。 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,(用2除余1 ) 5,11,17,23, (用3除余2 ) 11,23, (用4除余3 ) 1)筛法 思考一下:解题的思路是什么? 8 当问题中有很多类似的条件时,我们先只看其中两 三个条件,这就是化繁为简。 一个复杂的问题,如果在简化时仍然保留了原来问 题的特点和本质,那么简化就“不失一般性”。 学会“简化问题”与学会“推广问题”一样,是一 种重要的数学能力。 化繁为简的思想 寻找规律的思想 把我们
6、的解题方法总结为筛法,是重要的进步,是质 的飞跃找到规律了。 筛法是一般性方法,还可以用来解决其他类似的问题 。 9 化繁为简 我们还是先看只有前两个条件的简化题目。 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,(用2除余1) 5,11,17,23, (用3除余2) 上述筛选过程的第一步,得到: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25, 其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数 列实际上是用带余除法的式子得到的。 2)公倍数法 10 对任意给定被除数a,不为零的除数b,必唯一存 在商q和余数r,使 所谓“带余除法”,是指整数的如下 “
7、除法”: 当余数r =0时,则 a=bq,称为 “a被b整除”,或“b整 除a”,这是通常除法“ ” 的另一种表达形式。所 以,带余除法是通常除法的推广。 11 就是“带余除法”的式子. 当取 时,用上式求得的x正好 组成上述数列 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25, 设这样的数为x,则 。这里x是被除 数,2是除数, 是商,1是余数,且 。 回到求“用2除余1的数”的问题。 12 接着从中筛选出“用3除余2”的数,就是挑出符合下 面“带余除法”表达式 的数,这里 可取0,1,2,3,4, 再继续做下去 如果我们不分上面两步,而是一上来就综合考虑两者, 则就是要
8、解联立方程组 13 那么,为了解这个方程组,除了刚才的筛法外,还有 没有更加巧妙的解法? 我们考察上边两个方程的特点,发现,两个“带余除法 ”的式子,都是“余数比除数少1”。 于是想到,如果把被除数再加1,不是余数就为0了吗? 换句话说,不是就出现整除的情况了吗? 于是把上边每个方程两边都加上1,成为 14 这说明, x+1既是2的倍数,又是3的倍数,因此,它 是2与3的公倍数。由此想到对整个问题寻找规律。 再看问题: 今有物不知其数,二二数之剩1,三三数之剩2,四四 数之剩3,五五数之剩4,六六数之剩5,七七数之剩6, 八八数之剩7,九九数之剩8,问物几何? 对整个问题寻找规律 15 寻找规
9、律 设问题中,需要求的数是x,则被2,3,4,5,6,7,8,9去除 ,所得的余数都是比除数少1,于是我们把被除数x再加1,则 x+1就可被2,3,4,5,6,7,8,9均整除.也就是说,x+1是 2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数,从而是其最小公倍数 2,3,4,5,6,7,8,9的倍数。 即 这就是原问题的全部解,有无穷多个解,其中第一个解 是2519;我们只取正数解,因为“物体的个数”总是正整数 。 16 思考题: 求“用2除余1,3除余2,用m除余m-1”的数。 求“用a除余a-1,用b除余b-1,用c除余c-1”的数.( a,b,c是任意大于1的自然数) 求“用2,3,4,5,6
10、,7,8,9除都余1”的数。 求“用5,7,11 除都余2”的数。 17 2.孙子算经中“有物不知其数” 问题的 解答 问题:今有物不知其数, 三三数之剩2, 五五数之剩3, 七七数之剩2, 问物几何? 18 1)筛法: 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,(用3除余2 ) 8,23, (用5除余3) 23, (用7除余2) 由此得到,23是最小的一个解。 至于下一个解是什么,要把“”写出来才知道; 实践以后发现,是要费一点儿功夫的。 19 2)公倍数法 现在仿照上边用过的“公倍数法”,设要求的数为x ,则依题意,得联立方程组 按上一问题中“公倍数法”解决问题的思路:把方程
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