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1、第五章 频率响应分析法 经典控制理论的两大代表性方法之一 根据开环系统的稳态频率特性,分析闭环系 统的稳定性、稳定裕度及动态性能; Nyquist 1932年提出频域稳定判据,Bode 1940年提出简化作图的对数坐标系; 系统的频率特性具有明确的物理意义,既可 实验获取,也可由传递函数得到。 1 本章主要内容 r频率特性(基本概念,图示方法); r典型环节的频率特性; r系统开环频率特性的绘制; rNyquist 稳定判据; r控制系统的稳定裕量。 2 1. 频率特性的基本概念 仿真实验取 T=1,A1=1 由小变大 u1 u2 R Ci 5.1 频率特性 3 输入u1=sin(t) =0.
2、5 输出u2 =1 4 =2 =5 输入u1=sin(t)输出u2 5 观察到的现象: 当输入为正弦信号时,系统输出稳态仍为正弦信号 ,只是幅值和相位发生了变化。 原因? u1 u2 R Ci 6 分析:零初始条件、正弦输入时的输出为 幅频特性 相频特性 频率特性: 幅频特性和相频特性 7 频率特性与传递函数的关系: 上述结论对一般的线性定常系统都成立。 (可扩展用于不稳定系统) 8 应用频率法求正弦输入时的稳态误差 G1(s)G 2(s) H(s) Y(s)R(s) - Er(s) 注:即使存在纯时滞环节也同样适用(下页例) 系统稳定 9 G1(s)G 2(s) H(s) Y(s)R(s)
3、- Er(s) 用后面的判据 可知系统稳定 10 小结 幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳 态衰减(或放大)特性; 相频特性表示系统在不同频率正弦信号作用 下稳态输出的相位移; 已知系统的传递函数,令 s=j,可得系统 的频率特性(无论稳定与否); 频率特性虽然表达的是频率响应的稳态特性 ,但包含了系统的全部动态结构参数,反映 了系统的内在性质;频率从0的稳态特性 反映了系统的全部动态性能。 11 . 频率特性的图示方法 ()幅相频率特性图 又称极坐标图,奈奎斯特(Nyquist)图 12 描点后可得惯性环节 的幅相频率特性图 计算列表: 0 1 2 5 A() 1 0.707 0.45
4、0.196 0 () 0 45 63.4 78.69 90 实际为半圆 13 s平面 G(j)平面 jQ P MATLAB绘图: a=tf(1,1 1); nyquist(a) 14 (2)对数频率特性图(伯德图, Bode plots) 由对数幅频特性和相频特性两个图组成。 (后面用到时再讲) 15 1. 0型系统 5.2 开环系统极坐标图的绘制 16 例: 17 例: 2. 1型系统 0 j s平面 18 对于1型系统,一定有 0+ 时,实部有 限值 19 3. 2型系统 20 例:例: 0 对于2型系统,一定有 0+ 时,实部和虚部都 21 例:例: 0 22 练习: B5.4 23 5
5、.3 Nyquist 稳定判据 一、幅角原理(映射定理) s在s平面上沿一封闭围线Cs绕一圈F(s)在F(s)平面 上会映射为一封闭围线CF。 Im Re s平面 0 0 j F(s)平面 Cs CF 24 uCs顺时针方向围绕F(s)的一个零点 映射曲线CF顺时 针方向包围F(s)平面的坐标原点一周. uCs顺时针方向围绕F(s)的Z个零点 映射曲线CF顺时 针方向包围F(s)平面的坐标原点Z周. 对于Cs以外的零极点,F(s)的相 应部分的相角变化量为零 25 uCs顺时针方向围绕F(s)的一个极点 映射曲线CF反时 针方向包围F(s)平面的坐标原点一周. uCs顺时针方向围绕F(s)的P
6、个极点 映射曲线CF反时 针方向包围F(s)平面的坐标原点P周. 26 幅角原理:如果s平面上的围线Cs以顺时针方向 围绕F(s)的Z个零点和P个极点,则其在F(s)平 面上的映射曲线CF围绕F(s)平面的坐标原点反 时针方向旋转 N = P - Z 周。 Im Re s平面 0 0 j F(s)平面 Cs CF 27 取s平面上封闭围线Cs为图所示, 二、Nyquist 稳定判据 G(s) H(s) - R(s)Y(s) 在Cs的C1 段,有 在Cs的C2 段,有 D形围线, 或 Nyquist周线 所以映射曲线CF为F(s)的频率 特性曲线。 28 若Nyquist周线包围了F(s)的Z个
7、零点和P个极点 (均在右半开平面),则F(j)将包围坐标原点 N = P - Z 周。 闭环系统不稳定的极点数为 Z = P - N Im Re 0 F(j) 平面 CF 29 F(j)围绕F(j)平面的坐标原点等价于 G(j)H(j)围绕GH平面上的(-1, j0)点。 F(j)围绕情况转换为G(j)H(j)的围绕情况 Im Re-1 GH(j)平面 Re 0 F(j)平面 0 -1 Im 30 不稳定闭环极点数:Z = P - N j0)点P周。1,围(包(j)逆时针方向平面,则G(j)H 右半开在s且已知有P个开环极点,开环系统不稳定若2) ;j0)点1,围( )曲线不包则G(j)H(j
8、,0即P,开环系统稳定若1) 充要条件是的闭环系统稳定 - - = 31 32 -1 33 MATLAB 绘图命令: a=tf(2,1 1,ioDelay,0.5); nyquist(a) 可描点绘图或用MATLAB命令绘图 34 -0.52 改变增益对稳定性的 影响: 35 36 37 38 Nyquist周线 绕过原点 39 Im Re GH平面 Im Re GH平面 由修正后的Nyquist周线画出GH映射 曲线后,Nyquist稳定判据同前。 (在虚轴上的开环极点不计入P) 40 P=0, N=0 系统闭环稳定。 1型系统完整的Nyquist曲线41 2型系统完整的Nyquist曲线
9、42 练习: B5.12 , 5.14 43 5.4 对数频率特性图(伯德图, Bode plots) 对数幅频特性: 当变量增大或减小10倍(十倍频程)时,坐标间距离 变化一个单位长度。(见图) 优点:计算和作图方便,例如 而且容易与横坐标形成近似直线方程 图 由对数幅频特性和相频特性两个图组成。 44 幅频特性的对数坐标系 L()(dB) L()=20lgA() 0.11101002 3 1246 810204060 80 100 lg 0 1 2 45 相频特性的对数坐标系 0.1110100 相角没有必要取对数 46 对数幅频特性为 相频特性为 在对数坐标系中是直线方程, 斜率为-20
10、dB/dec(dec表示10倍频程) 幅频特性的近似作图: 47 伯德图中的对数幅频特性的近似绘制 -20dB/dec 与精确曲线的最大误差发生在1/T处,为 20 0 40 - 20 - dBL)( 48 精确的Bode图 MATLAB绘图: a=tf(1,1 1); bode(a) 49 5.5 典型环节的伯德图 1. 比例环节K 比例环节的Bode图 50 惯性环节的Bode图 2. 惯性、一阶微分环节 51 惯性与一阶微分环节的 Bode图对称于零分贝线 或零度线 52 3. 积分、微分环节 2)微分 1)积分 53 3 3) 多重积分 54 4. 振荡与二阶微分环节 低频渐近线 55
11、 高频渐近线 阻尼比较小时,幅 频特性曲线有峰值; 如何求谐振峰值 、 谐振频率? 56 二阶微分环节与振荡环节的Bode图 对称于零分贝线或零度线(略) 振荡环节的谐振峰值与谐振频率 57 5. 滞后环节 58 设开环传递函数为 5.6 开环系统伯德图的绘制 则幅频特性和相频特性分别为 近似作图时,幅频特性在很多情况下只需对转折频 率以后部分进行叠加(仅增益与积分环节除外) 59 例: 绘制Bode图。 解: 60 幅频特性 近似绘制 注意:相频特性与幅频特性斜率的变化趋势一致 61 频率特性 精确绘制 62 最小相位系统与非最小相位系统 最小相位系统: 开环传函的零极点全部位于左半闭平面上
12、 (包括虚轴),且不含时滞环节。 非最小相位系统: 开环传函至少有一个零点或极 点位于右半开平面上(不包括 虚轴) ,或含有时滞环节。 j 0 s复平面 63 最小相位与非最小相位系统的频率特性 例1:设a和b两个系统的开环传函分别为 两个系统的幅频特性相同,相频特性却不同: 64 最小相位系统的相角变化 小于非最小相位系统 65 例2:有2个系统,开环传递函数分别为 则两个系统的幅频特性相同, 相频特性却不同: )( 0 -90 )( 1 decdB /20- )( 2 -45 最小相位系统的相角变化 小于非最小相位系统 66 1. 低频段对数幅频特性的斜率为-20dB/dec时, 相频特性
13、趋于90(:积分环节数) ; 2. 中频段相频特性随对数幅频特性的斜率而变化; 3. 高频段对数幅频特性的斜率-20(nm)dB/dec 时,相频特性趋近于 90(nm) 最小相位系统对数幅频特性和相频特性的关系: 如前面的例(见下页): 67 相频特性与幅频特性斜率的变化趋势一致 68 最小相位系统的特点: 1. 对于具有相同幅频特性的系统,最小相位系统 的相角变化量最小; 2. 幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关 系,因此通常只须绘制幅频特性图; 3. 直接由对数幅频特性就可以写出其传递函数( 相当于频域的系统辨识)。 非最小相位系统不存在上述对应关系 69 练习: B5.8, 5.
14、9 70 dB L() () (-)(+) 0 (b)开环对数频率特性曲线 (+) (a)开环幅相频率特性曲线 -1(-) Im Re 0 5.7 根据Bode图判断系统的稳定性 71 -22 72 73 74 1型系统的Bode图 应作辅助线! 2型系统的伯德图 及辅助线? 75 76 实验3:频率特性的测试及分析 (2学时) 联系:李亚力老师 电气信息学院专业实验楼403 854662888216, 13330961802 77 练习: B5.13 78 5.8 控制系统的稳定裕量 1. 增益裕量 gm 2. 相角裕量 Re Im 0 -1 Gk(j) c g (c) 1 Nyquist图
15、 79 dB L() () 0 gm c g 1. 增益裕量 gm 2. 相角裕量 Bode图情况下的稳定裕量 80 返回 返回 返回 81 gm g c -28 -104 如何用计算的办 法求 gm 和 ? 82 增益裕量的计算: 用计算的办法求稳定裕量 即先求g,再求gm 83 相角裕量的计算: 相角裕量的近似计算: 题 即先求c,再求 84 gm g -28 题 85 gm g -28 题 86 gm g c -12.9 题 87 5) 仿真分析 仿真:ac5no1 仿真结构图 88 K=1 K=10 K=4.416 单位阶跃响应 time y 89 40dB/dec 最小相位系统的对数幅频特性与稳定裕量 90 R(s) Y(s) - L() 0 c K -20dB/dec 91 R(s) Y(s) - L() 0 c K -20dB/dec -40dB/dec 1/T 92 End of Chapter 5 93 练习 B5.20 ,B5.23 94 练习汇总 B5.4, B5.8, B5.9 (c), B5.12, B5.13 B5.14, B5.20 ,B5.23 95
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