三环流量与旋度.ppt
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1、目录 上页 下页 返回 结束 *三、环流量与旋度 斯托克斯公式 *环流量与旋度 第七节 一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、 斯托克斯公式 定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数, 的 侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 证:情形1. 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). 则有 简介 目录 上页 下页 返回 结束 则 (利用格林公式) 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 因此 同理可证 三式相加, 即得斯托克斯公式
2、 ; 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 或用第一类曲面积分表示: 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 利用斯托克斯公式计算积分 其中 为平面 x+
3、y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整 解: 记三角形域为 , 取上侧,则 个边界, 方向如图所示. 利用对称性 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 为柱面与平面 y = z 的交线, 从 z 轴正向看为顺时针 , 解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧, 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 公式其他形式 计算 目录 上页 下页 返回 结束 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有 (2) 对G内任一分段光滑曲线 , 与路径无关 (3) 在G内存
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