三章分子对称和点群.ppt
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1、第三章 分子对称性和点群 分子具有某种对称性. 它对于理解和应用分子 量子态及相关光谱有极大帮助. 确定光谱的选择定则需要用到对称性. 标记分子的量子态需要用到对称性. 3.1 对称元素 对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象. 把等价原子进行交换的操作叫做对称操作. 对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素. 3.1.1 n 重对称轴, Cn (转动) 转角 I 为恒等操作 主轴: n 最大的轴。 产生 n-1 个转动。 3.1.2 对称面, (反映) 2 = I h : 垂直于主轴的对称面 v :包含主轴的对称面 d :包含主轴且平分两 个C2轴的对称面 3.1.3.
2、对称中心, i (反演) i2 = I 3.1.4 n 重旋转反映轴, Sn Sn = h Cn 由于S1 = h C1 = , S2 = h C2 = i 所以S1 和S2无意义. 3.1.5 恒等元素, E 或 I 所有分子都具有恒等元素 E (有时也写为 I ). 是保持群论规则必需的元素. Sn = h Cn = Cn h 3.1.6 元素的生成 v = v C2 , v 包含CH2面, 而v 包含CF2面. 对Cn , 会产生(n-1)个对称操作. 如: 类似地, v = v C2 , C2 = v v (注意顺序) 当n为偶数时, 当n为奇数时, 例: 3.2 群的定义和基本性质
3、定义: 群 G 是一个不同元素的集合A,B,R, 对于一定的 乘法规则, 满足以下四个条件: 1) 封闭性 群中任意两个元素 R和 S的乘积等于集合中另一个元素, T=RS 2) 结合律 A(BC)=(AB)C 3) 有唯一的恒等元素 E, 使得对任意群元素 R, 有 RE=ER=R 4) 每个元素 R 必有逆元素 R-1, 使得 RR-1 =R-1 R=E 性质: 1) 若 AB=AC 则 B=C 2) (AB) 1 =B 1 A 1 因为 (AB)(AB) 1 =ABB 1 A 1 =AA 1 =E 例2. 数的集合 1, -1, i, -i, 乘法规则为代数乘法, 则构成一个群. 恒等元
4、素为1. 数 (-1) 的逆元素为(-1).数 (i) 的逆元素为 (-i). 例1. 全部整数的集合, 乘法规则为代数加法, 则构 成一个群. 恒等元素为 0. 数 n 的逆元素为 (-n). 封闭性和结合律是显然的. 例3. 空间反演群 E,i, i为空间反演操作. i2 = E 例4. D3=e,d,f,a,b,c e: 恒等操作 d: 绕 z 轴顺时针转动 120 f: 绕 z 轴顺时针转动 240 a: 绕 a 轴顺时针转动 180 b: 绕 b 轴顺时针转动 180 c: 绕 c 轴顺时针转动 180 故 ad = b D3群的乘法表 每一行和每一列都是所有群元素的重排 ad =
5、b , da = c 例5. 求3阶群的乘法表. (错) G=E,A,A2 (循环群) (?) 群的阶: 有限群中群元素的个数. 如 D3 群的阶为 6. 循环群: 整个群是由一个元素及其所有的幂产生. 如: 子群: 设 H 是群 G 的非空子集, 若对于群 G 的乘法规则,集 合 H 也满足群的四个条件,则称 H 是 G 的子群. 显然, 恒等元素 E 和群 G 自身是固有子群. 例. 在 D3=e,d,f,a,b,c 中, 子集 e,d,f, e,a, e,b, e,c都是子群. 共轭元素: B=X-1AX ( X,A,B都是群G的元素) 元素的共轭类: 一组彼此共轭的所有元素集合称为群的
6、 一个类. f 类 = x-1fx, x 取遍所有的群元素 (A和B共轭) 例. 求 D3 的所有共轭类 D3=e,d,f,a,b,c e 类: x-1ex =e d 类: a-1da=ac=f a 类: b-1ab=bd=c d-1ad=fb=c c-1ac=cf=b 所以 D3 的共轭类为: e, d,f, a,b,c 3.3 点群 分子的所有对称元素构成分子的点群. 这些对称元素至少保持空间中的一点(分子质心)不变, 从而成为点群. 如H2O的所有对称元素为: 1. Cn点群 2. Sn 点群 (n为偶数) 3. Cnv 点群 有一个 Cn 轴和 n 个包含该轴的对称面 v Cv 4.
7、Dn点群 有一个Cn轴和n个垂直于该轴的C2轴. (暂没有实例) 5. Cnh点群 有一个Cn轴和一个垂直于该轴的对称面h. 6. Dnd点群 有一个Cn轴,一个S2n轴, n个垂直于该轴 的C2轴, n个平分C2轴的对称面d. 7. Dnh群 有一个Cn轴, n个垂直于该轴的C2轴, 1个垂直于该轴的对称面h D3h H2为Dh 8. Td点群 有4个C3轴, 3个 C2轴, 6个对称面 d. 正四面体对称群. 9. O h点群 有3个C4轴, 4个C3轴, 3个 h , 6个对称面 d, 对称中心 i. 正八面体对称群. 3.4 群的表示 3.4.1 向量和矩阵 向量具有一定的大小和方向.
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