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1、第八章 因子分析 v8.1 引言 v8.2 正交因子模型 v8.3 参数估计 v8.4 因子旋转 v8.5 因子得分 8.1 引言 v主成分分析的成功需满足如下两点: (1)前(少数)几个主成分具有较高的累计贡献率; (通常较易得到满足) (2)对主成分给出符合实际背景和意义的解释 。 (往往正是主成分分析的困难之处) v因子分析的用途与主成分分析类似,它也是一种降 维方法。由于因子往往比主成分更易得到解释,故 因子分析比主成分分析更容易成功,从而有更广泛 的应用。 v从方法上来说,因子分析比主成分分析更为精细, 自然理论上也就更为复杂。主成分分析只涉及一般 的线性变换,不涉及模型,仅需假定二
2、阶矩存在。 而因子分析需建立一个数学模型,并作一定的假定 。 v因子分析起源于20世纪初,K.皮尔逊(Pearson)和C. 斯皮尔曼(Spearman)等学者为定义和测定智力所作 的努力,主要是由对心理测量学有兴趣的科学家们 培育和发展了因子分析。 v因子分析的目的是为了降维,降维的方式是试图用 少数几个潜在的、不可观测的随机变量来描述原始 变量间的协方差关系。 v例8.1.1 林登(Linden)根据他收集的来自139名运动员的比赛 数据,对第二次世界大战以来奥林匹克十项全能比赛的得 分作了因子分析研究。这十个全能项目为:100米跑(x1),跳 远(x2),铅球(x3),跳高(x4),40
3、0米跑(x5),11米跨栏(x6),铁 饼(x7),撑杆跳高(x8),标枪(x9),1500米跑(x10)。经标准化 后所作的因子分析表明,十项得分基本上可归结于他们的 短跑速度、爆发性臂力、爆发性腿力和耐力这四个方面, 每一方面都称为一个因子。十项得分与这四个因子之间的 关系可以描述为如下的因子模型: xi=i+fi1+fi2+fi3+fi4+i, i=1,2,10 其中f1, f2, f3, f4表示四个因子,称为公共因子(common factor) ,aij称为xi在因子fj上的载荷(loading),i是xi的均值,i是xi 不能被四个公共因子解释的部分,称之为特殊因子(specif
4、ic factor)。 v例8.1.3 公司老板对48名应聘者进行面试,并给出 他们在15个方面所得的分数,这15个方面是: x1:申请书的形式x9:经验 x2:外貌x10:积极性 x3:专业能力x11:抱负 x4:讨人喜欢x12:理解能力 x5:自信心x13:潜力 x6:精明x14:交际能力 x7:诚实x15:适应性 x8:推销能力 通过因子分析,这15个方面可以归结为应 聘者的 外露能力、经验、讨人喜欢的程度、专业能力和 外貌这五个因子。 8.2 正交因子模型 v一、数学模型 v二、正交因子模型的性质 v三、因子载荷矩阵的统计意义 一、数学模型 v设有p维可观测的随机向量 ,其均 值为 ,
5、协差阵为=(ij)。因子分析 的一般模型为 其中f1, f2, , fm为公共因子,1, 2, , p为特殊因子, 它们都是不可观测的随机变量。公共因子出现在每 一个原始变量的表达式中,可理解为原始变量共同 具有的公共因素。上式可用矩阵表示为 x=+Af+ 式中 为公共因子向量, 为特殊因子向量, 称为因子载荷矩阵 。通常假定 v该假定和上述关系式构成了正交因子模型。由上述 假定可以看出,公共因子彼此不相关且具有单位方 差,特殊因子也彼此不相关且和公共因子也不相关 。 二、正交因子模型的性质 v1. x的协差阵的分解 v2.模型不受单位的影响 v3.因子载荷是不惟一的 1. x的协差阵的分解
6、故得 =AA+D 如果x为各分量已标准化了的随机向量,则就是相 关阵R= (ij),即有 R =AA+D v例8.2.1 设随机向量x=(x1,x2,x3,x4)的协方差矩阵为 则可分解为 =AA+D 其中 v若取 ,则有分解式 此时m=p,没有达到降维目的,故所作的因子分析 没有意义。 v出于降维的需要,我们常常希望m要比p小得多,这 样前述的分解式通常只能近似成立,即有 =AA+D 近似程度越好,表明因子模型拟合得越佳。一般来 说,m选取得越小,上述近似效果就越差,即因子 模型拟合得越不理想。拟合得太差的因子模型是没 有什么实际意义的,故实践中m也不应选得过小。 2.模型不受单位的影响 v
7、将x的单位作变化,通常是作一变换x*=Cx,这里 C=diag(c1,c2,cp),ci0,i=1,2,p,于是 x*=C +CAf+C 令*=C ,A*=CA,*=C ,则有 x*=*+A*f+* 这个模型能满足类似于前述因子模型的假定,即 其中 因此,单位变换后新的模型仍为正交因子模型。 3.因子载荷是不惟一的 v设T为任一mm正交矩阵,令A*=AT,f*=Tf,则模型能表 示为 x=+A*f*+ 因为 E(f*)=TE(f)=0 V(f*)=TV(f)T=TT=I Cov(f*,)=E(f*)=TE(f)=0 所以仍满足模型条件。也可分解为 =A*A*+D v因此,因子载荷矩阵A不是惟一
8、的,在实际应 用中常常利用 这一点,通过因子的旋转(见稍后的8.4),使得新的因子 有更好的实际意义。 三、因子载荷矩阵的统计意义 v1.A的元素aij v2.A的行元素平方和 v3.A的列元素平方和 1.A的元素aij v xi=i+ai1f1+ai2f2+aimfm+i 即aij是xi与fj之间的协方差。 v若x为各分量已标准化了的随机向量,则xi与fj的相 关系数 此时aij表示xi与fj之间的相关系数。 2.A的行元素平方和 v xi=i+ai1f1+ai2f2+aimfm+i 令 于是 v 反映了公共因子对xi的影响,可以看成是公共因 子f1,f2,fm对xi的方差贡献,称为共性方差
9、 (communality);而 是特殊因子i对xi的方差贡献, 称为特殊方差(specific variance)。 v当x为各分量已标准化了的随机向量时,ii=1,此 时有 3.A的列元素平方和 其中 反映了公共因子fj对x1,x2,xp的影响,是衡量公共 因子fj重要性的一个尺度,可视为公共因子fj对 x1,x2,xp的总方差贡献。 8.3 参数估计 v一、主成分法 v二、主因子法 v三、极大似然法 一、主成分法 v设样本协方差矩阵S的特征值依次为 ,相应 的正交单位特征向量为。选取相对较小的因子数m ,并使得累计贡献率 达到一个较高的百分比, 则S可近似分解如下: 其中 为pm矩阵,
10、,i=1,2,p。这里的 和 就是因子模型的一个 主成分解。 v对主成分解,当因子数增加时,原来因子的估计载荷并不 变,第j个因子fj对x的总方差贡献仍为 。 v例8.3.1 在例7.3.2中,分别取m=1和m=2,用主成分法估计 的因子载荷和共性方差列于表8.3.1。 表8.3.1当m=1和m=2时的主成分解 变 量 m=1m=2 因子载荷共性方差因子载荷共性方差 f1 f2f1 f2 :100米0.8170.6680.8170.5310.950 :200米0.8670.7520.8670.4320.939 :400米0.9150.8380.9150.2330.892 :800米0.9490
11、.9000.9490.0120.900 :1500米0.9590.9200.959-0.1310.938 :5000米0.9380.8790.938-0.2920.965 :10000米0.9440.8910.944-0.2870.973 :马拉松0.8800.7740.880-0.4110.943 所解释的总方 差的累计比例 0.8280.8280.938 主成分解的近似关系式 主成分解的因子解释与主成分的解释完全相同。因 子f1代表在径赛项目上的总体实力,可称为强弱因 子;因子f2反映了速度与耐力的对比。 二、主因子法 v假定原始向量x的各分量已作了标准化变换。如果 随机向量x满足正交因子
12、模型,则有 R=AA+D 其中R为x的相关矩阵,令 R*=RD=AA 则称R*为x的约相关矩阵(reduced correlation matrix) 。 vR*中的对角线元素是 ,而不是1,非对角线元素 和R中是完全一样的,并且R*也是一个非负定矩阵 。 v设 是特殊方差 的一个合适的初始估计,则约相 关矩阵可估计为 其中 是 的初始估计。又设 的前m个特征值依次为 ,相应的正交单位特征向量为 ,则A的主因子解为 由此我们可以重新估计特殊方差, 的最终估计为 v如果我们希望求得拟合程度更好的解,则可以采用 迭代的方法,即利用上式中的 再作为特殊方差的 初始估计,重复上述步骤,直至解稳定为止。
13、 特殊(或共性)方差的常用初始估计方法 v(1)取 ,其中rii是 的第i个对角线元素,此 时共性方差的估计为 ,它是xi和其他p1个 变量间样本复相关系数的平方,该初始估计方法最 为常用。 v(2)取 ,此时 。 v(3)取 ,此时 ,得到的 是一个主成分 解。 v例8.3.2 在例7.3.2中,取m=2,为求得主因子解,选用xi与 其他七个变量的复相关系数平方作为 的初始估计值。计算 得 于是约相关矩阵为 的特征值为 从 起特征值已接近于0,故取m=2,相应的计算 结果列于表8.3.2。 表8.3.2 当m=2时的主因子解 变 量 因子载荷共性方差 f1f2 :100米0.8070.496
14、0.897 :200米0.8580.4120.906 :400米0.8900.2160.856 :800米0.9390.0240.881 :1500米0.9560.1140.926 :5000米0.9380.2820.960 :10000米0.9460.2810.974 :马拉松0.8740.3780.907 所解释的总方差的累计比例0.8160.914 三、极大似然法 v设公共因子fNm(0,I),特殊因子Np(0,D),且相 互独立,则必然有原始向量xNp(,)。由样本 x1,x2,xn计算得到的似然函数是和的函数L(,) 。由于=AA+D,故似然函数可更清楚地表示为 L(,A,D)。记(
15、,A,D)的极大似然估计为( ), 即有 v可以证明, ,而 满足以下方程组: 其中 。由于A的解是不惟一 的,故为了得到惟一解,可附加计算上方便的惟一 性条件: AD1A是对角矩阵 上述方程组中的 一般可用迭代方法解得。 v对极大似然解,当因子数增加时,原来因子的估计 载荷及对x的贡献将发生变化,这与主成分解及主 因子解不同。 v例8.3.3 在例7.3.2中,取m=2,极大似然法的计算 结果列于表8.3.3。 的初始估计值与例8.3.2相同。 表8.3.3 当m=2时的极大似然解 变 量 因子载荷共性方差 f1f2 :100米0.7310.6200.919 :200米0.7920.5450
16、.924 :400米0.8550.3430.849 :800米0.9160.1610.865 :1500米0.9580.0260.918 :5000米0.9720.1440.966 :10000米0.9810.1430.982 :马拉松0.9230.2490.914 所解释的总方差的累计比例0.8010.917 8.4 因子旋转 v因子的解释带有一定的主观性,我们常常通过旋 转公共因子的方法来减少这种主观性。 v公共因子是否易于解释,很大程度上取决于因子载 荷矩阵A的元素结构。 v如果载荷矩阵A的所有元素都接近0或1,则模型的 公共因子就易于解释。反之,如果载荷矩阵A的元 素多数居中,不大不小
17、,则对模型的公共因子往往 就不易作出解释,此时应考虑进行因子旋转,使 得旋转之后的载荷矩阵在每一列上元素的绝对值 尽量地拉开大小距离。 v因子旋转方法有正交旋转和斜交旋转两类,本章只讨论正 交旋转。 v对公共因子作正交旋转相当于对载荷矩阵A作一正交变换 ,右乘正交矩阵T,使A*=AT能有更鲜明的实际意义。旋转 后的公共因子向量为f*=Tf,它的几何意义是在m维空间上 对原因子轴作一刚性旋转。 v因子旋转不改变共性方差,这是因为 A*A*=ATTA=AA v正交矩阵T的不同选取法构成了正交旋转的各种不同方法, 在这些方法中使用最普遍的是最大方差旋转法(varimax),本 节仅介绍这一种正交旋转
18、法。 v例8.4.1 在例8.3.1至例8.3.3中分别使用最大方差旋转法,旋 转后的因子载荷矩阵列于表8.4.1。 表8.4.1旋转后的因子载荷估计 变 量 主成分主因子极大似然 :100米0.2740.9350.2870.9030.2880.914 :200米0.3760.8930.3810.8720.3790.883 :400米0.5430.7730.5410.7510.5410.746 :800米0.7120.6270.6950.6310.6890.624 :1500米0.8130.5250.7990.5370.7970.532 :5000米0.9020.3890.8950.3990.
19、8990.397 :10000米0.9030.3970.9000.4050.9060.402 :马拉松0.9360.2610.9090.2840.9140.281 所解释的总方 差的累计比例 0.5230.9380.5100.9140.5120.917 三种方法的因子载荷估计经因子旋转之后给出了大 致相同的结果, 在因子 上的载荷依次增大,在因 子 上的载荷依次减小,可称 为耐力因子,称 为(短跑)速度因子。 将(主成分解的)因子载荷配对( )在图8.4.1中 用点表示,在点上标出相应变量的序号。使用最大 方差旋转法后,因子按顺时针 方向旋转了=40.6 ,点i在新坐标系下的坐标为旋转后的因子
20、载荷配 对( )。从图中容易直接看出旋转后因子的实际 意义。 图8.4.1 主成分解的因子旋转 v例8.4.2 沪市604家上市公司2001年财务报 表中有 这样十个主要财务指标(数据可从前言中提及的作 者网页上下载): x1:主营业务 收入(元)x6:每股净资产 (元) x2:主营业务 利润(元)x7:净资产 收益率(%) x3:利润总额 (元)x8:总资产 收益率(%) x4:净利润(元)x9:资产总计 (元) x5:每股收益(元)x10:股本 上述十个指标的样本相关矩阵列于表8.4.2。 从相关矩阵出发,选择主成分法,相关矩阵的前三个特征 值为 累计贡献率为83.82%,取因子数m=3,
21、相应结果列于表8.4.3 。 表8.4.2 十个财务指标的样本相关矩阵 x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x11.000 x20.7231.000 x30.4270.7431.000 x40.4070.6970.9821.000 x50.1710.3250.5390.5591.000 x60.1490.2280.2840.2740.5851.000 x70.0960.1770.3620.4020.7760.2181.000 x80.0660.2040.4550.5000.8490.2900.8331.000 x90.7480.7680.5740.5670.1250.1380.0670
22、.0581.000 x100.6220.6190.4850.5000.002-0.0660.0330.0510.8611.000 表8.4.3 m=3时的主成分解 变量 因子载荷共性方差 f1f2f3 :主营业务 收入0.6590.4720.1210.672 :主营业务 利润0.8350.3460.0970.826 :利润总额0.8860.0030.0370.786 :净利润0.8880.0370.0820.796 :每股收益0.6660.6920.1090.934 :每股净资产0.3910.3670.8140.951 :净资产 收益率0.5270.6700.3250.832 :总资产 收益率
23、0.5810.7030.2600.899 :资产 总计0.7470.5640.0190.877 :股本0.6360.5960.2190.808 所解释的总方 差的累计比例 0.4880.7450.838 表8.4.4 旋转后的因子载荷估计 变量 因子载荷共性方差 :主营业务 收入0.809-0.0290.1290.672 :主营业务 利润0.8740.1710.1820.826 :利润总额0.7060.5090.1670.786 :净利润0.6880.5520.1350.796 :每股收益0.1150.8490.4470.934 :每股净资产0.0820.1990.9510.951 :净资产
24、收益率0.0220.9120.0040.832 :总资产 收益率0.0450.9430.0870.899 :资产 总计0.936-0.0120.0280.877 :股本0.869-0.013-0.2280.808 所解释的总方 差的累计比例 0.4040.7120.838 8.5 因子得分 v一、加权最小二乘法 v二、回归法 一、加权最小二乘法 v采用类似于回归分析中加权最小二乘估计的想法将 估计为 在实际应 用中,用估计值 分别代替上述公 式中的,A和D ,并将样品xj的数据代入,便可得 到相应的因子得分 二、回归法 v在正交因子模型中,假设 服从(m+p)元正态分 布, 用回归预测 方法可
25、将 估计为 在实际应 用中,可用 分别代替上式中的 ,A和 来得到因子得分。样品xj的因子得分 v例8.5.1 在例8.4.2中,用回归法得到的因子得分为 其中 为xi的标准化值,i=1,2,p ,经计算: 序号股票名称序号股票名称 1上海石化8.580-2.704-2.168 2东方航空7.446-2.089-1.861595康美药业-0.7010.2311.624 3兖州煤碳6.9241.513-0.044596潜江制药-0.706-0.4302.085 4马钢 股份6.175-1.251-2.804597浏阳花炮-0.7090.1460.655 5宁沪高速5.3410.835-2.220
26、598浪潮软件-0.7131.625-1.313 6广州控股4.1012.5960.640599兆维科技-0.7282.511-1.366 7青岛海尔4.0220.9543.160600PT农商社-0.7510.5160.510 8四川长虹3.996-2.0271.907601三佳模具-0.7760.5270.385 9仪征化工3.873-0.964-1.598602雄震集团-0.8171.175-1.407 10上海汽车3.8341.293-0.666603中软股份-1.0232.715-1.685 604天地科技-1.0232.355-0.946 表8.5.1 按规模因子得分 的排序 序号
27、股票名称序号股票名称 1中软股份-1.0232.715-1.685 2广州控股4.1012.5960.640595东方电机-0.246-3.212-0.385 3广汇股份0.5172.534-1.608596ST嘉陵-0.144-3.570-0.284 4兆维科技-0.7282.511-1.366597ST海药-0.089-3.7090.225 5长江通讯-0.6572.3691.899598鼎天科技0.034-4.230-0.209 6天地科技-1.0232.355-0.946599大元股份0.111-4.5590.284 7申能股份3.2482.158-0.498600新城B股-0.080
28、-4.687-0.086 8上港集箱2.9922.1121.624601银鸽 投资-0.063-4.869-0.086 9中远航运-0.5881.957-1.449602济南百货0.083-4.9680.012 10创业环 保0.7971.755-2.099603ST东锅0.263-5.9790.272 604国嘉实业0.491-7.7301.055 表8.5.2 按收益因子得分 的排序 序号股票名称序号股票名称 1贵州茅台0.8771.3665.750 2用友软件-0.581-0.0615.165595PT宝信-0.5711.145-1.760 3亿阳信通-0.5230.1244.05959
29、6东方航空7.446-2.089-1.861 4华泰股份-0.2240.0613.420597ST成量-0.5250.042-1.873 5太太药业0.0470.7473.234598ST自仪-0.185-0.012-1.905 6赣粤高速0.2060.1003.178599创业环 保0.7971.755-2.099 7青岛海尔4.0220.9543.160600上海石化8.580-2.704-2.168 8美克股份-0.6990.0882.752601山东基建2.2750.797-2.180 9宇通客车-0.2640.6042.619602ST中纺机-0.3900.278-2.182 10东方通讯2.401-0.7502.593603宁沪高速5.3410.835-2.220 604马钢 股份 6.175-1.251-2.804 表8.5.3 按每股价值因子得分 的排序
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