三章求解线方程组的数值解法.ppt
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1、第三章 求解线性方程组的数值解法,泰山学院信息科学技术系,解线性方程组的两类方法: 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!) 迭代法:从解的某个近似值出发,通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法(一般有限步内得不到精确解),3.1 解线性方程组的直接法,一、高斯消去法,3.1.1 高斯消去法和选主元高斯消去法,将增广矩阵的第 i 行 + li1 第1行,得到:,消去过程:,第一步:设 ,计算因子,第k步:设 ,计算因子 且计算,共进行 n 1步,得到,定理:若A的所有顺序主子式 均不为0,则高斯消去法能顺序进行消元,得到唯一解。,回代过程:,二、 选主元消去法,为避
2、免这种情况的发生, 可通过交换方程的次序,选取 绝对值大的元素作主元. 基于这种思想导出了主元素法,在高斯消去法消去过程中可能出现 的情况,这时 高斯消去法将无法进行;即使主因素 但很小, 其作除数 ,也会导致其它元素数量级的严重增长和舍 误差的扩散,列主元消去法,在第k步消元前,在系数矩阵第k列的对角线以下的元素中找出绝对值最大的元。,列主元Gauss消去法保证了lik1 (i=k+1,k+2,,n).,全主元消去法,在第k步消去前, 在系数矩阵右下角的n-k+1阶主子阵中,选绝对值最大的元素作为主元素。,(1) If p k then 交换第 k 行与第p行; If q k then 交换
3、第 k 列与第 q 列;,(2) 消元,注:列交换改变了 xi 的顺序,须记录交换次序,解完后再换回来。, 运算量 (Amount of Computation),(1)用克莱姆(Cramer)法则求解n阶线性方程组,每个行列式由n!项相加,而每项包含了n个因子相乘,乘法运算次数为(n-1)n !次.,仅考虑乘(除)法运算,计算解向量包括计算n+1个行列式和n次除法运算,乘(除)法运算次数N=(n+1)(n-1)n!+n.,(2) 高斯消去法:,在第1个消去步, 计算li1(i=2,3,n), 有n-1次除法运算. 使aij(1)变为 aij(2) 以及使bi(1)变为bi(2)有n(n-1)
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- 求解 方程组 数值 解法
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