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1、第十七讲 多 边 形,1.了解:三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线),多边形的内角和与外角和公式、正多边形的概念、三角形的稳定性、三角形的分类. 2.会画三角形的角平分线、中线、高. 3.掌握:三角形三边关系、三角形内角和及外角和性质.,一、与三角形有关的重要线段 1.角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交, 连结_与_之间的线段. 2.中线:连结三角形的一个_与它对边的_的线段. 3.高:从三角形的一个顶点向它的对边(或延长线)引垂线,连 结_和_之间的线段.,顶点,交点,顶点,中点,顶点,垂足,【即时应用】 1.如图,图中所有三角形的个数为_.在ABE中,AE所对
2、的角 是_,BEA所对的边是_. 对于线段AD,在ADE中是_的对边,在ADC中是_ 的对边.,ABE,AB,AED,C,6,2.小华在电话中问小明:“已知一个三角形三边长分别是4, 9,12,如何求这个三角形的面积?”小明提示说:“可通过作 最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确 的是_.,(3),二、三角形的边、角关系 1.三边关系:三角形任何两边的和_第三边,两边的差 _第三边. 2.内角和及外角的性质: (1)三角形的内角和等于_,外角和等于_. (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的_的和. (3)三角形的一个外角_任何一个与它不相邻的内角.,大于,小于,180,36
3、0,两个内角,大于,【即时应用】 1.如果三角形的两边长分别为3和5,那么这个三角形的第三边的长x的取值范围是_. 2.在ABC中,A=50,B=30,则C=_; 在ABC中,C=60,AB=20,则B=_.,2x8,100,50,3.如图,ABC中,A60,C40,延长CB到D ,则 ABD_,100,三、多边形及密铺 1.n边形的内角和是_. 2.n边形的外角和是_. 3.正多边形的概念 各个角都_,各条边都_的多边形叫做正多边形.,(n-2)180,360,相等,相等,4.用相同的正多边形铺满平面 可以用_、_或_. 5.用多种正多边形铺满平面 两种组合的有:正八边形和_、正六边形和_、
4、 正四边形和正三角形,正十二边形和正三角形等.,正三角形,正四边形,正六边形,正方形,正三角形,【即时应用】 1.正五边形的内角和等于_ 2.若正多边形的一个外角是45,则该正多边形的边数是_.,540,8,3.如图,1,2,3,4是五边形ABCDE的外角,且1 23470,则AED的度数是_. 4.在下面几种正多边形中正十边形正八边形正六边形 正五边形能够单独铺满地面的是_.(填序号),100,【核心点拨】 1.三角形的中线、高线、角平分线都是线段,而三角形的中位线是连结三角形任意两边的中点的线段. 2.三角形的任意一条中线都可把三角形分成两个面积相等的三角形. 3.正多边形一定要满足两个条
5、件:各个角都相等,各条边都相等,这两个条件缺一不可. 4.用两种正多边形镶嵌时尽量满足:(1)镶嵌的正多边形的边长相等;(2)顶点重合;(3)一个顶点处的各角之和为360.,三角形三边之间的关系,【例1】(2012杭州中考)有一组互不全等的三角形,它们的 边长均为整数,每个三角形有两条边的长分别为5和7 (1)请写出其中一个三角形的第三边的长; (2)设组中最多有n个三角形,求n的值. 【思路点拨】(1) 三边关系 确定第三边长的取值范围 结论 ; (2) 根据第三边长的取值范围 n .,【自主解答】(1)设三角形的第三边的长为x, 每个三角形有两条边的长分别为5和7, 7-5x5+7, 2x
6、12, 其中一个三角形的第三边的长可以为10 (答案不唯一,只要x取满足2x12的整数即可),(2)由(1)可知2x12,三角形的边长均为整数, x=3,4,5,6,7,8,9,10,11, 组中最多有9个三角形, n=9.,【对点训练】 1.(2011滨州中考)若某三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是( ) (A)1 (B)5 (C)7 (D)9 【解析】选B.设第三边长为x,则4-3x4+3,即1x7,符合题意的只有选项B.,2.(2011南通中考)下列长度的三条线段,不能组成三角形的是( ) (A)3,8,4 (B)4,9,6 (C)15,20,8 (D)9,1
7、5,8 【解析】选A.因为3+48,根据两边之和大于第三边,所以3,8,4不能组成三角形.,3.(2012长沙中考)现有3 cm,4 cm,7 cm,9 cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 【解析】选B.任取其中三根有四种情况:3,4,7;3,4,9;4,7,9;3,7,9.由三角形的三边关系,必须任意两边之和大于第三边,其中4,7,9;3,7,9能组成一个三角形,所以选B.,三角形内角和及外角性质,【例2】(2011茂名中考)如图,已知ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,
8、DF=DE,则E=_度.,【教你解题】 答案:15,ACB的度数,ABC是等边三角形, ACB=60.,GDC的度数,CG=CD,CGD=CDG. 又ACB=CGD+CDG, CDG= ACB=30.,E的度数,DF=DE,E= DFE, E= CDG=15.,【对点训练】 4.(2012滨州中考)一个三角形三个内角的度数之比为 237,这个三角形一定是( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 【解析】选D.三角形的三个角依次为180 =30, 180 =45,180 =105,所以这个三 角形是钝角三角形,5.(2012聊城中考)将一副三角板如图所示摆放
9、,图中的 度数是( ) (A)75 (B)90 (C)105 (D)120 【解析】选C.=60+(90-45)=105.,6.(2012南通中考)如图,在ABC中,C70,沿图中虚线截去C,则12( ) (A)360 (B)250 (C)180 (D)140,【解析】选B.如图,1,2是CDE的外角, 1=4+C,2=3+C, 即1+2=C+(C+3+4)=70+180=250,多边形的外角和与内角和,【例3】(2012无锡中考)若一个多边形的内角和为1 080,则这个多边形的边数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 【教你解题】选C.,设,设多边形的边数为n.,列,(n-2)1
10、80=1 080,答,n=8.故选C.,【对点训练】 7. (2011杭州中考)正多边形的一个内角为135,则该正多 边形的边数为( ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)4 【解析】选B.因正多边形的每一个内角(外角)都相等,并且内、外角互补.多边形外角和为360.因正多边形的一个内角 为135,故它的每一个外角为45.故n= =8.,8.(2011泉州中考)下列正多边形中,不能单独铺满地面的是 ( ) (A)正三角形 (B)正方形 (C)正六边形 (D)正七边形 【解析】选D.是否铺满地面就是看正多边形的内角是否整除 360,显然,正七边形的内角为 度,不是360的约数,所 以选D.,9
11、.(2012德阳中考)已知一个多边形的内角和是外角和的 则这个多边形的边数是_. 【解析】设这个多边形的边数为n,根据多边形的内角和公式 及多边形的外角和为360,得:(n-2)180=360 解得:n=5. 答案:5,【创新命题】格点三角形 【例】(2011哈尔滨中考)图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点A,B在小正方形的顶点上. (1)在图1中画出ABC(点C在小正方形的顶点上),使ABC的面积为5,且ABC中有一个角为45(画一个即可). (2)在图2中画出ABD(点D在小正方形的顶点上),使ABD的面积为5,且ADB=90(画一个即可).,
12、【解题导引】处理网格问题要关注图形的特征和网格的特征. 【规范解答】面积为5的三角形是底为5,高为2的三角形, (1)45角是正方形对角线与网格线的夹角,据此可画出图形(答案不唯一); (2)ADB=90可依据图形的特殊性找出(答案不唯一).,【名师点评】通过对格点三角形的分析和总结,我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示:,1.(2011福州中考)如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A,B两点在网格格点上,若点C也在网格格点上,以A,B,C为顶点的三角形的面积为2,则满足条件的点C的个数是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5,【解析】选C.根据三角形面积公式
13、可知,欲使ABC的面积为2,且顶点C也在网格格点上,那么,此三角形的底边、高的值应该分别为4,1或2,2,结合题目所给A,B两点,可以找到全部符合条件的点C,如图所示.,2.(2010株洲中考)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,则点C的个数是( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9,【解析】选C.要使ABC为等腰三角形,可以有三种不同的方法,可以使AC=BC,使AC=AB,或使BC=AB当AC=BC时,点C在线段AB的垂直平分线上,可以找到4个符合题意的点C当AC=AB时,可以找到2个符合题意的点C当AB=BC时,可以找到2个符合题意的点C故点C的个数共有8个,3.(2011遵义中考)如图,由四个边长为1的 小正方形构成一个大正方形,连结小正方形的 三个顶点,可得到ABC,则ABC中BC边上的 高是_ 【解析】因为SABC=4-1-1- 所以 而BC= 所以h= 答案:,【一题多解】连结对角线AD交BC于E,由正方形的性质可知, ADBC,所以,
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