三章节能量守恒定律.ppt
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1、第3 章,第三章 能量守恒定律,第3 章,3.1 功和能,3.1.1 动能定理 已知力是位矢函数 F(r),试求质点从 A点(r = rA)经过路径L到B点(r = rB)的速率v(rB) 牛顿第二定律: F(r) = mdv/dt F(r)dr = (mdv/dt)dr = mdvdr/dt = mvdv = m(vxdvx + vydvy + vzdvz ) = mvdv 经过路径L: AB LF(r)dr = VaVb mvdv = mvB 2/2 - mvA2/2,第3 章,LF(r)dr = mvB 2/2 - mvA2/2 1、功: dA = F(r)dr = Fds cos =
2、Ft ds A = LF(r)dr = L Ft ds 功率:P = dA/dt = F(r)dr/dt = F(r) v 2、动能:Ek= mv 2/2 = P2/2m (与参考系有关) 在SI制中功单位焦耳(J),功率单位瓦特(W) 动能和功的单位是一样的,但意义不同。功 Work 反映力的空间积累,其大小取决于过程,是个过程量;动能 Kinetic Energy 表示物体的运动状态,是个状态量。,第3 章,3、动能定理 质点: A = EkB - EkA 质点系: A外力+ A内力 = Ek - Eko 其中 Eko 和 Ek 分别表示质点系的初态和末态总动能,第3 章,例3-2 一弹簧
3、放在水平位置上,如图所示,把质量为 m的质点向右移动一距离 L,然后释放。当质点离平衡位置的距离为 x 时,试求它的动能。,解:当弹簧伸长一距离 x 时,弹簧对质点的作用力: F = - kx ( k为倔强系数 ) 当质点被释放时,x=L,F= - kL,v0= 0,因而初动能为零。,第3 章,令 v 表示在中间位置 x上的速率,把质点从 L 移至 x 时对质点所作的功为 A = Lx Fdx = Lx - kx dx = k(L2 - x2)/2 根据动能定理可得: mv2/2 - 0 = k(L2 - x2)/2 因此,上式表明,只要 x 的绝对值相同,速率便具有相同的值;也就是说,质点的
4、运动对称于O点。在 x 处的速度 vx =v,说明该处的质点可向左或向右运动。同时表明质点的运动将限于在 x = -L 和 x = +L 的范围内。,第3 章,例 3-2 一链条总长为 L,质量为 m,放在桌面上,并使其下垂,下垂一端的长度为 a。设链条与桌面之间的摩擦系数为,令链条由静止开始运动,则 (1) 链条离开桌面的过程中,摩 擦力对链条作了多少功 ?(2) 链条离开桌面时的速率是多少 ?,解:设链条线密度为= m/L 1、建立坐标 OX 轴,链条下 垂一端的长度为 x ,则 摩擦力:f =g(L - x),第3 章,f = mg(L - x)/ L 摩擦力作功:Af = -aL f
5、dx = -aL mg(L-x)/ Ldx = -mg(L-a)2 / 2L 2、重力作功:AG =aL mgx/Ldx = mg(L2 -a2 )/ 2L 动能定理:Af + AG = mv2 / 2 - mvo2 / 2 因为 vo = 0,第3 章,例3-1 一对作用与反作用力所作的功,设 质点 质量 位矢 位移 作用力 1 m1 r1 dr1 F12 2 m2 r2 dr2 F21 其中 F12 为质点 2 对 1 的作用力 F21 为质点 1 对 2 的作用力 F12 和F21是一对作用和反作用力,由牛顿第三定律可知: F12 = - F21 这对作用和反作用力所作的功为: dA =
6、 F12 dr1 + F21 dr2 = F12 ( dr1 - dr2 ) = F12 dr12,第3 章,dA= F12 dr12,上式表明: 一对作用和反作用力所作的功只与 F12 和相对位移 dr12 有关,而这两者都是不随参考系而变化的,由此得出结论: 任何一对作用力所作的功与参考系选择无关,而一般单个力所作的功与参考系有关。,第3 章,3.1.2 势能 Potential Energy,1、保守力 Conservative Force 与势能 如果一个力仅取决于质点的位矢 r,并且力所作的功 A 可用 Ep(r) 这个量在始点处和终点的量值之差来表示,而与所经历的路径无关,则该力称
7、为保守力,量 Ep(r)称为势能,它是质点位置的函数。因此 A = AB F(r)dr = - ( EpB - EpA ) 此式表示保守力作功等于势能增量的负值。 势能通常被定义为含有任意常数,我们可将势能的零点定在任何方便的位置处。,第3 章,如果路径是闭合,亦即 A 和 B 是同一点,则 EPA= EPB ,于是净功等于零,即 A闭合 =F dr = 0 积分符号上的圆圈表示路径是闭合的。 因此,对于保守力沿任一闭合路径的功为零。反之可以证明F dr = 0 的条件也可作为保守力的又一定义。 设 EpA= 0 根据 A = AB F(r)dr = - ( EpB - EpA ) 得 EpB
8、 = - AB F(r)dr 或 EpB = BA F(r)dr 积分关系,第3 章,3-4 质点在随位置而变的外力F = 2y i+4x2 j (N)作用下,从原点运动到 c (2,1) (m)点。试分别计算 F 沿下列路径所做的功: (1)沿路径oac; (2)沿路径obc; (3)沿路径oc; (4) F 是保守力还是非保守力?试解释之。 解:(1) 路径 oac:oa:y=0 (0 x 2) ac:x=2 (0 y 1) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2y dx + o1 4x2dy = o2 0 dx + o1 4 22dy = 16 ( 1- 0 )
9、= 16 J,第3 章,(2) 路径 obc:ob:x=0 (0 y 1) bc:y=2 (0 x 2) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2y dx + o1 4x2dy = o2 22 dx + o1 0 dy = 4 ( 2 - 0 ) = 8 J (3) 路径 oc:y = x/2 (0 x 2) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2y dx + o1 4x2dy = o2 x dx + o1 16 y2dy = x2/2o2 + 16y3/3o1 = 2 + 16/3 = 22/3 J,第3 章,2、力与势能关系 S 方向上的分量:
10、FS = - dEp/ds 其中 dEp/ds 叫做 Ep的方向导数。 证明:在 S方向上作位移 ds,保守力作功: FS ds = - (Ep + dEp ) - Ep = - dEp 故 FS = - dEp/ds,第3 章,当一矢量在任一方向上的分量等于一个函数在该方向上的方向导数时,这个矢量就叫做这个函数的梯度 Gradient。 因此,我们说 F是 Ep的梯度的负值,写成一般形式: F = - grad Ep = - Ep 微分关系 式中“grad”代表梯度。 直角坐标分量:,第3 章,例3-3 恒力所作的功与势能,解:设质点 m 在一大小和方向都恒定的力 F作用下运动,当质点沿路径
11、从 A 运动到 B 时,恒力 F 所作的功为: A = AB F(r)dr = FAB dr = F( rB - rA ) = F rB - F rA 结论: 恒力 F 所作的功与路径无关。 ,第3 章,举例: 重力为一恒力,F = mg = - mg j ( j 为竖直向上的单位方向矢量 ), 则重力作功: A = F rB - F rA = - mg j ( rB - rA ) = - mg ( hB - hA ) = mghA - mghB 显然,重力作功与质点的路径无关,只取决于路径二端点的高度差 hB - hA,因此重力是保守力。 重力势能: Ep= mgh,第3 章,例3-4 有心
12、力作功与势能,解:设有心力的力心为参考系原点O,一般有心力可表示为 F(r) = F(r) ro 其中 ro 为 r 的单位矢量。有心力作功为: A = AB F(r)dr = AB F(r) rodr = rA rB F(r)dr (路径无关) 所以有心力为保守力,并且相应的势能仅取决于质点至力心的距离,即 Ep= Ep(r) = - F(r)dr,第3 章,Ep = - F(r)dr,例如:(1) F(r) = k /r2 Ep = - F(r)dr =k /r2dr = k /r + C 对于与 r 成反比的势能,在决定 C时,习惯上取 r=处的 Ep=0,所以C=0,因而有: Ep=
13、k /r 此式在研究万有引力和库仑力时十分有用。 (2)一维有心力 F = - kx (弹性力) Ep= - Fdx = kxdx = kx2 /2 + C 习惯上令 x= 0时,Epo= 0,所以 C=0,因而 Ep= kx2 /2 这个式子在讨论振动时是很有用的。,第3 章,3.2 能量守恒定律,3.2.1 功能原理 假定内力是保守的,则存在内势能 Epi 内势能 每对质点势能、与参考系无关 当时刻 t0 t,内力作功Ai和 Epi 存在关系 Ai = Epi,0 - Epi Ae + Ai = Ek - Ek0 ( 质点系动能定理 ) Ae + Epi,0 - Epi = Ek - Ek
14、0 Ae = ( Ek + Epi ) - ( Ek0 + Epi,0 ) 即功能原理: Ae = U - U0 Ek = i mivi2/ 2 Epi = ijij Epij 系统原能: U = Ek + Epi,第3 章,3.2.2 能量守恒定律 考虑孤立系统或外力作功为零(Ae= 0) 于是 U = Ek + Epi =恒量 即:一个孤立质点系的动能和内势能之和(即原能)恒保持不变。这个重要结论称为能量守恒定律。 到目前为止,这个定律是作为动量守恒和内力为保守力这个假设的结果而出现的。然而,我们在宇宙中所观察到的所有过程中,这个定律都是成立的,因此可认为它已超出了我们在叙述它对所曾采用过
15、的特殊假设而是普遍成立的定律。,第3 章,若作用在质点系上的外力也是保守力 Ae = Epe,o - Epe 式中 Epe 和 Epe,o分别为时间 t 和 to时与外力相关的势能。因此: Epe,o - Epe = U - Uo U + Epe = ( U + Epe )。 质点系总能量:E =U + Epe= Ek+ Epi+ Epe 结论:当质点系在保守内力和保守外力作用下运动时,其总能量保持为恒量。,第3 章,例如:两个质点 m1和 m2,它们被一弹性系数为k的弹簧联结在一起,如果该系统被抛在空中(无其他外力作用), 动能:Ek = m1v12 / 2 + m2v22 / 2 内势能:
16、Epi = k x2/ 2 ( x是一弹簧的形变) 外势能:Epe = m1gh1 + m2gh2 h1、h2 分别是 m1和 m2 在地球表面上的高度 系统原能:U = m1v12 / 2 + m2v22 / 2 + k x2/ 2 总能量:E = m1v12 / 2 + m2v22 / 2 + k x2/ 2 + m1gh1 + m2gh2 在运动过程中:总能量必须保持为常量。,第3 章,3.2.3 克尼希定理 资用能 1、克尼希定理 (1)内动能 Eki :相对于C-参考系的动能 (2)内能 Ui :内动能和内势能之和。即 Ui = Eki + Epi = ( Ek + Ep ) i (
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