三章节集合.ppt
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1、第三章 集 合,3.1 集合论基础 3.2 集合运算及其性质 3.3 集合的笛卡儿积与无序积,退出,3.1 集合论基础,1. 集合与元素 所谓集合,是指某些可辨别的不同对象的全体,将用大写字母A,B,X,Y,表示之。组成集合的对象称为集合的元素或成员,将用小写字母a,b,x,y表示之。a是A的元素或a属于A,记作aA;a不属于A或a不是A的元素,记作aA,或者(aA)。,集合的元素一旦给定,这一集合便完全确立。这一事实被形式地叙述为外延公理。 外延公理:两集合A和B相等,当且仅当它们有相同的元素。 若A与B相等,记为A=B;否则,记为AB。,外延公理可形式表为: A=B(x)(xAxB) 或者
2、 A=B(x)(xAxB)(x)(xBxB) 顺便指出,在应用外延公理证明集合A与B相等时,只需考察: 对于任意元素x,应有下式 xBxB 成立即可。这就是说,证明两集合相等时可按此法行事。,表示一个特定集合,基本上有两种方法: 一是枚举法,在可能时列出它的元素,元素之间用逗号分开,再用花括号括起。如 A=a,e,i,o,u (1) 表明集合A是由字母a, e, I ,o和u为元素构成的。,二是谓词法,用谓词公式来确定集合。即个体域中能使谓词公式为真的那些元素,确定了一个集合,因为这些元素都具有某种特殊性质。若P(x)含有一个自由变元的谓词公式,则x|P(x)定义了集合S,并可表为 S=x|P
3、(x) 由此可见,P(c)为真当且仅当cS。从而有 xSxP(x),例如,(1)可表为 A=x|x是英文字母表中元音字母 在用性质来描述集合时,可表述为概括原理或子集合公理。 子集公理: 对于任给集合A和性质P,存在集合B,使得B中元素恰为A中满足P的那些元素。,子集公理可形式地表为 (B)(x)(xBxA(x) 其中(x)为不含B自由出现。 子集公理的提出,避免了悖论,使集合论得以存在和发展。,应该指出的是:集合并不决定于它的元素展示方法。集合的元素被重复或重新排列,集合并不改变,即a, a ,e, i, o, u= a, u, e, o, i。但有时对重复出现的元素都认为是集合的元素,这种
4、集合称为多重集。即a, a, e, i, o, u, ua, e, i, o, u。本书中集合在不特别指明时,都指前者,即中的集合。,集合的元素可以是具体事物,可以是抽象概念,也可以是集体,不是集合的元素称为本元。如,一本书,一支笔,集合1,2,3可以组成集合B=一本书,一支笔,1,2,3 。特别地,以集合为元素的集合称为集合族或集合类如A=1,2,3, 8,9,6。 集合中元素之间可以有某种关联,也可以彼此毫无关系。,2. 子集、全集与空集 子集是描述一个集合与另一个集合之间的关系,其定义如下。 定义3.1.1 设A和B是任意两个集合,如果集合A的每个元素,都是集合B中的一个元素,则称A是B
5、的子集,或称A被包含于B中,或者说B包含A,并记为AB。,本定义也可表成 AB(x)(xAxB) 这表明,要证明AB,只需对任意元素x,有下式 xAxB 成立即可。 此外,若集合B不包含集合A,记为AB。,/,定义3.1.2 设A和B是两个集合,若AB且AB,则称A是B的真子集,记为AB,也称B真包含A。该定义也可表为 AB(ABAB),定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合,则称该集合为全集,记为U或E。它可形式地表为 U=x|P(x)P(x) 其中P(x)为任何谓词公式。,显然,全集U即是第二章中的全总论域。于是,每个元素x都属于全集U,即命题(x)(xU)为真。由定义易知
6、,对任意集合A,都有AU。 在实际应用中,常常把某个适当大的集合看成全集U。,定义3.1.4 没有任何元素的集合,称为空集,记为,它可形式地表为: =x|P(x)P(x) 其中P(x)为任何谓词公式。 由定义可知,对任何集合A,有A。这是因为任意元素x,公式xxA总是为真。,注意,与是不同的。是以为元素的集合,而没有任何元素,能用构成集合的无限序列: (1), 该序列除第一项外,每项均以前一项为元素的集合。,(2), 该序列除第一项外,每项均以前面各项为元素的集合。它即是冯诺依曼在1924年使用空集给出自然数的集合表示: 0:=,1:=,2:= ,, 定理3.1.1 空集是唯一的 定理3.1.
7、2 ()对任一集合A,有AA。 ()若AB且BC,则AC。,3集合的基数 表示集合中元素多少或度量集合大小的数,称作集合的基数或势。一个集合A的基数,记为|A|。 如果一个集合恰有m个不同的元素,且m是某个非负整数,称该集合是有限的或有穷的,否则称这个集合为无限的或无穷的。例如,在本书中常用有穷集有: Nm=0,1,2,m-1,本书中常见的无穷集合有: N=0,1,2,3,,即自然数集合。 Z=,-2,-1,0,1,2,3,,即整数集合。 Z+=1,2,3,,即正整数集合。 Q=有理数集合。 R=实数集合。 C=复数集合。,4集合的幂集 一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合,即是由这些子集所
8、组成的集合族。 定义3.1.5 设A为一集合,A的幂集是一集合族,记为P(A), P(A)=B|BA 由定义可知,P(A),AP(A)。,5文氏图 文氏(Venn)图是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。全集U用一个矩形的内部表示,其他集合用矩形内的园面或一封闭曲线圈成的面积来表示。,如果AB,则表示A的圆面一般将完全落在表示B的圆面内,如图1中(a)。如果A与B没有公共元素,那么表示A的圆面将同表示B的圆面分开,如图3-1中(b)。当A和B是两个任意的集合时,可能会是:有些元素在A中但不在B中,有些元素在B中却不在A中,有些元素同时在A和B中,有些元素则既不在A中也不在B中
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