三篇近世代数.ppt
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1、第三篇 近世代数,代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。本篇共三章,第五章代数系统基础介绍代数系统的一般原理与性质, 第六章群论,主要介绍具有代表性的代数系统群,最后第七章其它代数系统,介绍除群外常见的一些代数系统,如环、域、格与布尔代数等,这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。,第八章 代数系统,8.1 代数系统一般概念 1代数系统中的基本概念 (1)代数系统:集合上具有封闭性的运算组成代数系统(S , )。 (2)子代数:代数系统(S, ),(S,)满足: SS 如 a , bS,ab = a b 则称(S,)为(S, )的子代数。,8.2 代数系统常见的一些性质 (
2、3)代数系统常见性质 1)结合律:(a b) ca (b c) 2)交换律:a bb a 3)分配律:a (bc)(a b)(a c) 4)单位元:a 1a 5)逆元:a a11 6)零元:a 00 7)生成元,8.3 同构与同态 (4)同构:(X, )与(Y,)存在一一对应函数g : XY使得如x1 , x2X,则有:g(x1 x2)g(x1)g(x2)此时则称(X, )与(Y,)同构。 (5)同态:(X , )与(Y,)存在函数g : XY使得如x1 , x2X,则有:g(x1 x2)g(x1)g(x2)此时则称(X, )与(Y,)同态。 8.4 常用代数系统 (6)代数系统的构成,第九章
3、 群论,9.1 一些群的定义 (7)半群代数系统满足交换律 (8)单元半群半群存在单位元 (9)群半群存在单位元与逆元 (10)可换群群满足交换律 (11)变换群集合A上所有的变换构成的集合E(A),对于复合变换所构成的代数系统(E(A), )是一个群,称变换群。 (12)循环群群有生成元。 (13)有限群:群(S, )中S为有限集。 (14)子群:群(G,)上G的子集所构成的群。,(15)正规子群:(H,)是群(G,)的子群,如对aG都有:aH = Ha则称(H,)是(G,)的正规子群。 (16)陪集:H是G的子群,Haha | hH, aH = ah | hH 分别称H在G中的一个右陪集或
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