三维转动群的覆盖群.ppt
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1、1,3.3 三维转动群的覆盖群SU(2),一、二维幺模幺正矩阵群SU(2),1. 群元素 对于群中任意元素u,它的矩阵元素满足,二维幺模幺正矩阵(detR=1,R+R=RR+=1)的集合,按照普通矩阵的乘法,满足群的四个条件,构成群,记作SU(2)群,2,将复数c,d用4个实数表示出来,取,则 4个实数中只有3个是独立的,为了下面方便讨论,我们用实矢量 的球坐标,来代替上面实参数hi(3个独立的量),3,其中, 的长度是,方向沿n(,)方向,其中引入矢量代表3个泡利矩阵:无迹,幺正,厄米,矢量 满足所有矢量的代数关系,如矢量点乘,4,由上面式子可以证明,SO(3)群,二、群空间,与SO(3)相
2、比较,矢量 的变化范围即为群空间:,半径为2的球体 球内的点与SU(2)群元素u间有一一对应的关系 外部球面上的点对应同一个元素(-1),特点,SU(2)群的群空间是连通的;群中任一元素u都可以由恒元出发,在群空间连续变化得到简单李群,5,连通度单连通,SO(3)群空间:只有直径两端的点对应同一元素(连线按跳跃次数的奇,偶分两组,双连通),SU(2)群空间:外球表面对应同一个元素(球面上的跳跃可以看成一条连续曲线,可通过曲线在群空间的连续变化,消去跳跃,因此只有一组连线,单连通),SU(2)群是紧致李群 (群空间是欧氏空间的闭空间),相同的元素u(n,)互相共轭,构成一类,三、SO(3)与SU
3、(2)同态关系,1. 无迹厄米矩阵X,泡利矩阵:无迹,厄米,幺正 泡利矩阵的实线性组合,仍是无迹,厄米矩阵,6,反之,任何二维无迹、厄米矩阵X,若只包含三个独立实参数,则可展开为泡利矩阵的实线性组合,现取:组合系数为三维空间任一点P的三个直角坐标,即,无迹矩阵与P点位置坐标 r 有一一对应关系,可验证,2. 同态关系的建立,设uSU(2),是任意一个二维幺模幺正矩阵,X经过u-1的相似变换仍是一个无迹厄米矩阵,7,且有相同的行列式 detX=detX,无迹矩阵X与 r ,则X与r 一一对应关系,即X对应空间另一点P, r 的分量可以表示为 r 的分量的线性齐次函数,因此 RO(3), 显然 u
4、取恒元时,X=uXu-1相当于无变换,则r与r重合,即R是恒元,8, u可以由恒元在SU(2)群空间连续变化得到,对应R也可由恒元在O(3)群群空间连续变化得到(但只能是在有恒元的一个连续片内),即RSO(3), 将XX,对应点变化 PP,位置矢量 rr 的变换 RSO(3), 反之,若RSO(3),它将rr,对应点变化 PP,则XX;因为X是无迹厄米矩阵,且detX=detX,所以X与X必将通过幺模幺正相似变换uSU(2)相联系,即前面的 X=uXu-1,但这样的矩阵不唯一, 设,(u2-1u1)可于任意矩阵X对易,则它必为常数矩阵,即,9,u2、 u1为幺模矩阵:,各相似变换之间差一个+1
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