第十章函数项级数.ppt
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1、第十章 函数项级数,第一节 函数项级数的一致收敛性 第二节 一致收敛级数的判别与性质 第三节 幂级数 第四节 函数的幂级数展开,第一节 函数项级数的一致收敛性,一、点态收敛 二、函数项级数(或函数序列)的基本问题 三、函数项级数(或函数序列)的一致收敛,一、点态收敛 考虑(含有参数的数项)级数及其收敛性。,下面的例子说明,在点态收敛的情况下,上述性质不一定成立。,第二节 一致收敛级数的判别与性质,一致收敛的判别 一致收敛级数的性质 处处连续但处处不可导的例子,下图显示不同参数所对应的Weierstrass函数的图像,第三节,一、幂级数的收敛半径,二、幂级数的性质,幂级数,机动 目录 上页 下页
2、 返回 结束,一、幂级数及收敛半径,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如, 幂级数,为幂级数的系数 .,即是此种情形.,的情形, 即,称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,发散,Abel第一定理:,若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该幂级数发散 ,则对满足不等式,证: 设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛 .,也收敛,反之, 若当,时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,
3、且使级数收敛 ,面的证明可知,级数在点,故假设不真.,的 x , 原幂级数也发散 .,时幂级数发散 ,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,幂级数在 (, +) 收敛 ;,由Abel 定理可以看出,中心的区间.,用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;,R = 时,幂级数在 (R , R ) 收敛 ;,(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.,R 称为收敛半径 ,,在R , R ,可能收敛也可能发散 .,外发散;,在,(R , R ) 称为收敛区间.,机动 目录 上页 下页 返回
4、 结束,定理10.3.2. 若,的系数满足,证:,1) 若 0,则根据比值判别法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即,时,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 若,则根据比值判别法可知,绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明:据此定理,因此级数的收敛半径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对端点 x =1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例1.求幂级数,机动 目录
5、上页 下页 返回 结束,例2. 求下列幂级数的收敛域 :,解: (1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x = 0 处收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,的收敛半径 .,解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值判别法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,的收敛域.,解: 令,级数变为,当 t = 2 时, 级数为,此级数发散;,当 t = 2 时, 级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、幂级数的性质,定理. 设幂级数,及,的收
6、敛半径分别为,令,则有 :,其中,以上结论可用部分和的极限证明 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多.,例如, 设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 若幂级数,的收敛半径,(证明见第六节),则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 由例2可知级数的收敛半径 R+.,例5.,则,故有,故得,的和函数 .,因此得,设,机动 目录
7、 上页 下页 返回 结束,例6.,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发,散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求级数,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,及,收敛 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此由和函数的连续性得:,而,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.,解: 设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 求幂级数收敛域的方法,1) 对标准型幂级数,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值
8、法,2. 幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过换元化为标准型再求 .,乘法运算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,思考与练习,1. 已知,处条件收敛 , 问该级数收敛,半径是多少 ?,答:,根据Abel 定理可知, 级数在,收敛 ,时发散 .,故收敛半径为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 在幂级数,中,n 为奇数,n 为偶数,能否确定它的收敛半径不存在 ?,答: 不能.,因为,当,时级数收敛 ,时级数发散 ,说明: 可以证明,比值判别法成立,根值判别法成立,机动 目录
9、 上页 下页 返回 结束,备用题 求极限,其中,解: 令,作幂级数,设其和为,易知其收敛半径为 1,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数的幂级数展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0
10、时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ?,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,证明:,令,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是,唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.,证: 设 f (x) 所展成的幂级数为,则,显然结论成立
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- 第十 函数 级数
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