济南大学高等数学C一ch.ppt
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1、第一节 导数的概念,可导与连续的关系,导数的几何意义,导数的定义,思考题、,小结,微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分.本章着重介绍导数与微分的概念及其计算方法,学习导数的应用.首先我们从寻找曲线的切线以及确定变速运动的瞬时速度引出导数的概念.,一、问题的提出,1.自由落体运动的瞬时速度问题,如图,取极限得,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,如果割线MN 绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT 就称为曲线C在点M处的切线.,如图,极限位置即:,二、导数的定义,1.定义,增量比的极限,(3)关于导数的说明:,注:,(1)导数的其他表示方法:,(2),导数不存在,2.单侧导数
2、,(1)左导数:,(2)右导数:,一般步骤:,3.分段函数在分段点的导数,4. 由定义求导数,步骤:,例1,解:,例3,解:,更一般地:,例如,例4,解:,利用等价无穷小替换,例5,解:,利用第二个重要极限,例,解:,定理 函数可导必定连续,反之不一定成立.,三、导数的几何意义,几何意义,切线方程为,法线方程为,例,解:,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,四、可导与连续的关系,定理 函数可导必定连续,反之不一定成立.,证明,即函数在某点连续是可导的 条件.,必要,函数在某点连续但不存在导数举例,例如,例如,例如,思考题,思考题解答,小结,1. 导数的实质: 增量比的
3、极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续,但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,作 业,P90 T5, T8, T10, T14, T15,第二节 求导法则与基本初等函数求导公式,初等函数的求导问题,反函数的求导法则,函数四则运算求导法则,复合函数的求导法则,思考题、,小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续,但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,
4、不连续, 一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,内容回顾,一、函数四则运算求导法则,定理1,证(3),推论,例1,解:,例2,解:,例3,解:,同理可得,解:,同理可得,例3,注意:,分段函数求导时,分段点处的导数必须用左右导数求.,二、反函数的求导法则,定理2,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,例4,解:,同理可得,例5,解:,特别地,三、复合函数的求导法则,定理3,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),推广,证:,注意,例6,解,注意函数的复合过程,合理分解,正确使用链式法则.,例7,解:,解:,例8,例9
5、,解,例10,解,例11,解,四、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数公式,2.函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意: 初等函数的导数仍为初等函数.,思考题,1.求曲线 上与 轴平行的切线方程.,3.幂函数在其定义域内( ).,思考题解答1,令,切点为,所求切线方程为,和,思考题解答2,正确地选择是(3),例,在 处不可导,,取,在 处可导,,在 处不可导,,取,在 处可导,,在 处可导,,正确地选择是(3),例,在 处不可导,,在定义域内处处可导,,思考题解答3,小结,1.分段函数求导时,分界点处导数用左右导
6、数求.,2.反函数的求导法则(注意成立条件);,3.复合函数的求导法则(注意函数的复合过程, 合理分解, 正确使用链式法则),4.任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述求导法则求出.,关键:正确分解初等函数的复合结构.,练习,解,关键: 正确分解初等函数的复合结构.,作 业,P100 T3 , T7 (奇) , T9 , T10 (偶),第三节 高阶导数,高阶导数的运算法则,高阶导数求法举例,高阶导数的定义,思考题、,小结,1.分段函数求导时,分界点处导数用左右导数求.,2.反函数的求导法则(注意成立条件);,3.复合函数的求导法则(注意函数的复合过程, 合理分解, 正
7、确使用链式法则),4.任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述求导法则求出.,关键: 正确分解初等函数的复合结构.,内容回顾,一、高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数求法举例,直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,例1,解:,例2,解:,例3,解:,例4,解:,例5,解:,同理可得,三、高阶导数的运算法则,莱布尼兹公式,例6,解:,常用高阶导数公式,利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算、,间接法:,变量代换等方法, 求出n阶导数.,例7,
8、解:,例8,解:,思考题,解:,故用定义求,小结,高阶导数求法,1.直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,2.高阶导数的运算法则,作 业,P105 T1 (3,6) , T4 (偶) , T8,分析:,P105 T3,参数方程的导数,对数求导法,隐函数的导数,第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,思考题、,小结,高阶导数求法,1.直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,2.高阶导数的运算法则,内容回顾,一、隐函数的导数,隐函数,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,例1,隐函数求导法则:,解:,另解(显化):,基本步骤:,例2,解:,解得:,例3,解:,所求
9、切线方程为,显然通过原点.,例4,解:,二、对数求导法,方程两边取对数,解:,例5,等式两边取对数得,解:,等式两边取对数得,例6,对数求导法适用范围:,三、参数方程的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得:,看作复合函数,解:,例7,所求切线方程为:,解:,例8,思考题,思考题解答,不对,小结,1、隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,2、对数求导法:,3、由参数方程所确定的函数的导数:,作 业,P112 T1 (3, 6), T3 (偶), T4 (2,3) ,
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