三角函数的图象与性质要点梳理五点法作图原理.ppt
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1、4.3三角函数的图象与性质 要点梳理 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x 在0,2 上的图象形状时,起关键作用的五 个点是 、 、 、 、 .余弦函数呢?,(0,0),基础知识 自主学习,2.三角函数的图象和性质:,函,数,性,质,-1,1,-1,1,R,R,(kZ),;,;,;,;,奇,奇,偶,3.一般地对于函数f(x),如果存在一个不为0的常 数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期 函数,非零常数T叫做这个函数的周期,把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数 的周期一般指最小正周期).函数y=Asin( x
2、+ ) 或y=Acos( x+ )( 0且为常数)的周 期 函数y=Atan( x+ )( 0)的周期,基础自测 1.函数y=1-2sin xcos x的最小正周期为( ) 解析,B,2.设点P是函数f(x)=sin x ( 0)的图象C的 一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的 最小值是 则f(x)的最小正周期是( ) 解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴 的距离的最小值为最小正周期的 故f(x)的 最小正周期为T=,B,3.函数y=sin 的图象( ) A.关于点 对称 B.关于直线 对称 C.关于点 对称 D.关于直线 对称 解析 验证法:,A,4.在下列函数中,同时满足以下三
3、个条件的是( ) 在 上递减; 以 为周期; 是奇函数. A.y=tan x B.y=cos x C.y=-sin x D.y=sin xcos x 解析 y=tan x的周期为 ,故A错. y=cos x为偶函数,故B错. y=sin xcos x= sin 2x的周期为 ,故D错. y=-sin x的周期为2 ,是奇函数,由图象知 在 上是递减函数,故C正确.,C,5.(2009四川文,4)已知函数f(x)=sin (xR),下面结论错误的是( ) A.函数f(x)的最小正周期为2 B.函数f(x)在区间 上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x)是奇函数 解析
4、 A正确; 由图象知y=-cos x关于直线x=0对称,C正确. y=-cos x是偶函数,D错误.,D,题型一 与三角函数有关的函数定义域 求下列函数的定义域: (1)y=lgsin(cos x);(2)y= 本题求函数的定义域:(1)需注意对数 的真数大于零,然后利用弦函数的图象求解; (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零, 然后利用函数的图象或三角函数线求解. 解 (1)要使函数有意义,必须使sin(cos x)0. -1cos x1,0cos x1.,题型分类 深度剖析,方法一 利用余弦函数的简图得知定 义域为 方法二 利用单位圆中的余弦线OM,依题意 知0OM1, OM只能在x
5、轴的正半轴上, 其定义域为 (2)要使函数有意义,必须使sin x-cos x0.,方法一 利用图象.在同一坐标系中画出 0,2 上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示. 在0,2 内,满足sin x=cos x的x为 再结合正弦、余弦函数的周期是2 , 所以定义域为,方法二 利用三角函数线,如图MN为正弦线, OM为余弦线, 要使sin xcos x,即MNOM,,方法三,(1)对于含有三角函数式的(复合)函数 的定义域,仍然是使解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等 式(或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单 位圆中的三角函数线和三角
6、函数的图象,有时也 利用数轴.,知能迁移1 求下列函数的定义域:,解 (1)要使函数有意义,必须有,可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集,如图所示:,题型二 三角函数的单调性与周期性,(1)化为 再求单调区间;,(2)先化为 ,再求单调区间.,解,(1)求形如y=Asin( x+ )或y=Acos( x + ) (其中A0, 0)的函数的单调区间,可以通 过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是: 把“ x+ ( 0)”视为一个“整体”;A0(A0)时,所列不等式的方向与y=sin x(xR), y=cos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相 同(反). (2)对于y=At
7、an( x+ ) (A、 、 为常数),其 周期 单调区间利用 解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函 数y=f(v),v= (x),其单调性判定方法是:若y=f(v) 和v= (x)同为增(减)函数时,y=f( (x)为增 函数;若y=f(v)和v= (x)一增一减时,y=f( (x) 为减函数.,知能迁移2 求函数 的单调区间. 解 方法一,方法二,题型三 三角函数的对称性与奇偶性 已知f(x)=sin x+ cos x(xR),函数 y=f(x+ )的图象关于直线x=0对称,则 的值可以 是 ( ) 先求出f(x+ )的函数表达式. f(x+ )关于x=0对称,即f(x+ )为偶函
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