米尔尼方法与辛普森方法.ppt
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1、1,9.5.3 米尔尼方法与辛普森方法,考虑与(5.7)不同的另一个 的显式公式,其中 为待定常数,可根据使公式的阶尽可 能高这一条件来确定其数值.,由(5.4)可知 ,再令 得 到,2,解此方程组得,于是得到四步显式公式,(5.11),称为米尔尼(Milne)方法.,由于 ,故方法为4阶,其局部截断误差为,(5.12),3,米尔尼方法也可以通过方程(1.1)两端积分,得到.,若将方程(1.1)从 到 积分,可得,右端积分通过辛普森求积公式就有,(5.13),称为辛普森方法. 它是隐式二步四阶方法,其局部截断误 差为,(5.14),4,9.5.4 汉明方法,辛普森公式是二步方法中阶数最高的,但
2、它的稳定性 较差,为了改善稳定性,考察另一类三步法公式,其中系数 及 为常数.,如果希望导出的公式是四阶的,则系数中至少有一个 自由参数.,若取 ,则可得到辛普森公式.,若取 ,仍利用泰勒展开,由(5.4),令,则可得到,5,解此方程组得,于是有,(5.15),6,称为汉明(Hamming)方法.,由于 ,故方法是四阶的,且局部截断 误差为,(5.16),7,9.5.5 预测-校正方法,对于隐式的线性多步法,计算时要进行迭代,计算量 较大.,为了避免进行迭代,通常采用显式公式给出 的 一个初始近似,记为 ,称为预测(predictor),接着计算 的值(evaluation),再用隐式公式计算
3、 ,称为校正 (corrector).,在(2.13)中用欧拉法做预测,再用梯形法校正,得 到改进欧拉法,它就是一个二阶预测-校正方法.,一般情况下,预测公式与校正公式都取同阶的显式方 法与隐式方法相匹配.,例如用四阶的阿当姆斯显式方法做预测,再用四阶阿 当姆斯隐式公式做校正,得到以下格式:,8,预测P:,求值E:,校正C:,求值E:,此公式称为阿当姆斯四阶预测-校正格式(PECE).,依据四阶阿当姆斯公式的截断误差,对于PECE的预 测步P有,对校正步C有,9,两式相减得,于是有下列事后误差估计,容易看出,10,(5.17),比 更好.,但在 的表达式中 是未知的,因此计算时用 上一步代替,
4、从而构造一种修正预测-校正格式 (PMECME ):,P:,M:,E:,11,C:,M:,E:,注意:在PMECME格式中已将(5.17)的 及 分别改为 及 .,利用米尔尼公式(5.11)和汉明公式(5.15)相匹配, 并利用截断误差(5.12),(5.16)改进计算结果,可类 似地建立四阶修正米尔尼-汉明预测-校正格式(PMECME):,12,13,例7 将例6的初值问题用修正的米尔尼-汉明预测-校 正公式计算 及 ,初值 仍用已算出的精 确解,即 ,,给出计算结果及误差.,解 根据修正的米尔尼-汉明预测-校正公式可得,其中,14,15,误差,从结果看,此方法的误差比四阶阿当姆斯隐式法和四
5、阶汉 明方法小,这与理论分析一致.,16,9.5.6 构造多步法公式的注记和例,前面已指出构造多步法公式有基于数值积分和泰勒展 开两种途径,只对能将微分方程(1.1)转化为等价的积分 方程的情形方可利用数值积分方法建立多步法公式,它是 有局限性的.,即前种途径只对部分方法适用.而用泰勒展开则可构造 任意多步法公式,其做法是根据多步法公式的形式,直接 在 处做泰勒展开即可.,不必套用系数公式(5.4)确定多步法(5.1)的系数 及 ,因为多步法公式不一定如(5.1) 的形式.,另外,套用公式容易记错.,17,例8 解初值问题,用显式二步法,其中,试确定参数 使方法阶数尽可能高,并求局部 截断误差
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- 米尔 方法 辛普森
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