第章自动控制系统的数学模型.ppt
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1、1,第二章 控制系统的数学模型,引言 控制系统的微分方程(时域) 微分方程的建立 非线性微分方程的线性化 控制系统的传递函数(复域) Laplace变换 传递函数 控制系统的结构图 信号流图 脉冲响应函数,2,数学模型 是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。 对于同一个系统而言,数学模型不是唯一的。 数学模型的形式: 如果只需要反映系统静态关系,就可以用代数方程; 如果要表示系统输入和输出之间的动态关系,就可以用微分方程、偏微分方程或差分方程。 建立模型的方法:机理建模和实验建模。 系统 多个元部件通过某种方式组合在一起所构成的整体。 集中参数系统:变量仅仅是时间的函数。动态数学
2、模型通常是微分方程。 分布参数系统:变量不仅是时间函数,而且还是空间的函数。动态数学模型通常是偏微分方程。,引言,3,线性系统:满足叠加原理(加和性f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)与齐次性f(kx)=kf(x))的系统。 叠加原理说明两个不同的作用函数同时作用于系统的响应,等于两个作用函数单独作用的响应之和。 非线性系统:不满足叠加原理的系统。,线性定常系统:线性微分方程的各项系数为常数。 线性时变系统:线性系统的微分方程的系数为时间的函数。 本章讨论的系统: 单输入单输出集中参数线性定常系统 可以线性化的非线性单输入单输出集中参数定常系统,引言,4,建立控制系统微分方程的一般步骤,在
3、建立系统微分方程模型时,应注意 各元件的信号传送的单向性,即前一个元件的输出是后一个元件的输入,一级一级的单向传送; 前后连接的两个元件中,后级对前级的负载效应。 最后化成标准形式:与输入量相关的写在方程右边,与输出量相关的写在方程左边,两端变量的导数项均按降幂排列。,系统原理方块图,简化,控制系统的微分方程,5,控制系统的微分方程,对任何线性定常系统,假如它的输出为c(t),输入为r(t) ,则系统微分方程模型的一般形式如下:,有时将输出的0阶导数项的系数化为1。 对于实际的系统,nm,而且大多数系统nm。,6,试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。,首先确定输入和输出。
4、然后根据物理定律列写方程,质量块的运动,消去中间变量,化为标准形式,式中,T为时间常数,为阻尼比,K为比例系数。,f 阻尼系数 k 弹性系数,微分方程的建立 例,7,首先确定输入和输出。 设回路电流为i(t),由克希霍夫定律写出回路方程为:,消去中间变量 得到描述电路输入输出关系的微分方程为,R-L-C电路,与前面建立的弹簧-质量-阻尼器系统的微分方程比较,,二者的结构有相似之处,称为相似系统。,令RC=T2,L/R=T1,则,微分方程的建立 例,8,首先确定输入和输出。 设回路电流为i1(t) 、i2(t),由克希霍夫定律写出回路方程为:,消去中间变量i1(t) 、i2(t)、uc1,得到描
5、述网络输入输出关系的微分方程为,令 T1=R1C1,T2=R2C2,T3=R1C2则有,微分方程的建立 例,9,列写微分方程要注意: 确切反映系统的动态性能、遵循物理定律。 忽略次要因素,简化分析计算。 系统由几个储能元件就是几阶微分方程。,微分方程的建立 例,10,非线性微分方程的线性化,问题的提出 模型精度越高,模型就越复杂,通常会产生非线性。通常在建立模型时,会在模型精确性和可行性之间做出折衷考虑。 在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法称为非线性数学模型的线性化。 线性化的条件: 小偏差理论或小信号理论。在工程实践中,控制系统都有一个额定的工作状态和工作点
6、,当变量在工作点附近作小范围的变化时,就满足这个条件。 在工作点附近存在各阶导数或偏导数。 线性化的方法:在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数,忽略级数中高阶项后,就可得到只包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化方法称为小偏差法。,11,非线性微分方程的线性化,设非线性函数y=f(x)如图所示,如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在,则在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数:,如果偏差x=x-x0很小,则可忽略级数中高阶无穷小项,上式可写为,K表示y=f(x)曲线在(x0, y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。,12,非线性微分方程的线性
7、化,在处理线性化问题时,需要注意以下几点: 上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的,工作点不同,得到的线性化方程的系数也将不同。因此在线性化时必须确定元件的工作点。 在线性化过程中,略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项,如果实际系统中输入量变化范围较大时,采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差。 线性化后的微分方程通常是增量方程,在实用上为了简便通常直接采用y和x来表示增量。 如果描述非线性特性的函数具有间断点,折断点或非单值关系而无法作线性化处理时,则控制系统只能应用非线性理论来研究。,13,非线性微分方程的线性化,不满足展开成泰勒级数的条件的非线性特性,不能应用“小偏差”线性化的概念
8、进行线性化的非线性特性叫做本质非线性。,14,Laplace变换,定义 设有函数f(t),t为实变量,s=+j为复变量。如果线性积分,存在,则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换,称F(s)是f(t)的象函数,称f(t)是F(s)的原函数。变换后的函数是复变量s的函数,记作F(s)或Lf(t)即,在上式中,其积分下限为零,但严格说有0-和0+之分。 对于在t=0处连续或只有第一类间断点的函数,0-和0+型的拉氏变换是相同的,但对于在t=0处有无穷跳跃的函数,两种拉氏变换的结果是不一致的。 为了反映这些函数在0-,0+区间的表现,约定式中的积分下限为0-。,15,Laplace变换 例,例:求单位阶
9、跃函数1(t)的拉氏变换,单位阶跃函数的拉氏变换为,单位脉冲函数,记为,单位脉冲函数的拉氏变换为,16,常见的拉氏变换,17,Laplace变换的基本定理,线性定理 设F1(s)= Lf1(t),F2(s)= Lf2(t),a和b为常数,则有 Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)=aF1(s)+bF2(s) 微分定理,18,Laplace变换的基本定理,积分定理,位移定理,19,Laplace变换的基本定理,终值定理 若函数f(t)的拉氏变换为F(s),且sF(s)在复平面右半部及除原点外的虚轴上解析,则有终值定理,终值定理只适用于,sF(s)在复平面右半部(包括虚轴上
10、)没有极点的情况。如,20,Laplace反变换,F(s)通常是复变量s的有理分式函数,一般形式为,拉普拉斯反变换:,式中各系数为实数,m、n为正数,可将F(s)写成因式分解的形式,对于F(s)含有极点的不同情况,展开成部分分式的形式也不同,下面分三种情况讨论。,21,Laplace反变换, F(s)只含有不相同的实极点,Ai是常数,它是s=pi的留数,可按下面方法求得,确定了待定系数Ai,就可求得F(s)的拉氏反变换:,22,Laplace反变换, F(s)包含共轭复数极点 方法一:仍可用上面单极点的处理方法来分解F(s),只是Ai是复数。如果p1、p2是共轭复数极点,则A1、A2也是共轭复
11、数极点,则A1、A2只求一个即可。 方法二:,上面方程式一个复数方程,令两边实部与虚部分别相等,即可求得A1、A2 。,23,Laplace反变换, F(s)中包含有多重极点 若p1是F(s)的r重极点,其他极点互不相同,则,重极点对应的各项待定系数可分别由下式计算。,Laplace反变换 例,24,Laplace反变换 例,25,欧拉公式,26,Laplace反变换 例,Laplace反变换 例,27,28,用拉氏变换求解微分方程,用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤是: 对线性微分方程的每一项进行拉氏变换,使微分方程变成以s为变量的代数方程;注意初始条件的处理。 求解代数方程,得到输出变量
12、象函数的表达式; 将象函数展开成部分分式; 对部分分式进行拉氏反变换,得到微分方程的解。,29,用拉氏变换求解微分方程 例,已知系统的微分方程为,【解】对微分方程进行拉氏变换得,30,用拉氏变换求解微分方程 例,用拉氏变换解微分方程,31,问题的提出 定义:线性定常系统的传递函数为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。 几点说明: 线性定常系统 不是线性定常的系统是否有传递函数? 零初始条件的含义: 1、系统的输入在t0时才作用于系统。即在t=0-时系统输入及各项导数均为零。 2、输入量在加于系统之前,系统为稳态,即在t=0-时输出及其所有导数项为零。 不满足零初始条件
13、的系统是否有传递函数?,传递函数,32,传递函数,式中c(t)是系统输出量,r(t)是系统输入量,ai(i=1,2,n)和bj(j=1,2,.m)是与系统结构和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值为0,即满足零初始条件,则对上式中各项分别求拉氏变换,并令C(s)=Lc(t),R(s)=Lr(t),可得s的代数方程为:,由定义得系统的传递函数为,设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述:,33,传递函数 例,RLC无源网络的传递函数,其传递函数为:,在零初始条件下对上述方程中各项求拉氏变换,并令Ur(s)和Uc(s)分别为ur(t)和uc(t)的拉氏变换,则有:,
14、【解】由前面知RLC微分方程为,弹簧-质量-阻尼器系统,二者为相似系统,其传递函数为:,34,传递函数的表示形式,是分子多项式的零点,称为传递函数的零点;,为分母多项式的零点,称为传递函数的极点。,k称为根轨迹增益。,零极点形式:传递函数的分子多项式和分母多项式可经因式分解后可写成如下形式:,零极点分布图:传递函数的零极点分布图是在复数平面上表示传递函数的零点和极点。一般用表示零点。用表示极点。,传递函数的零极点完全取决于系统参数。 如果是复数,必共轭成对出现。,35,传递函数的表示形式,时间常数形式,式中一次因子对应于实数零极点,二次因子对应于共轭复数零极点; i和Tj称为时间常数。 K称为
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