空间解析几何简介课件.ppt
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1、空间解析几何简介,向量及其线性运算 数量积 向量积 *混合积 空间平面及其方程 空间直线及其方程 二次曲线及其方程 二次曲面及其方程,数量关系 ,第一部分 向量,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程(组),空间解析几何,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,表示法:,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的
2、向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,规定: 零向量与任何向量平行 ;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k,个向量共面 .,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,2. 向量的减法,三角不等式,3. 向量与数的乘法, 是一个数 ,规定 :,可见,总之:,运算律 :,结合律,分配律,因此,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空
3、间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,坐标轴 :,坐标面 :,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,设点 M的坐标为,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理
4、得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,*三、向量的混合积,第二节,一、两向量的内积,二、两向量的向量积,数量积 向量积 *混合积,一、两向量的内积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,内积,(点积,数量积) .,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,3. 运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,事实上, 当,时, 显然成
5、立 ;,4. 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,例2. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,为 ) .,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度,例3. 设均匀流速为,的流体流过一个面积为 A 的平,面域 ,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的夹角为,且,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,引例中的力矩,思考: 右图三角形面积,S,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分
6、配律,(3) 结合律,证明:,4. 向量积的行列式计算法,例4. 已知三点,角形 ABC 的面积,解: 如图所示,求三,一点 M 的线速度,例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上,的表示式 .,解: 在轴 l 上引进一个角速度向量,使,其,在 l 上任取一点 O,作,它与,则,点 M离开转轴的距离,且,符合右手法则,的夹角为 ,方向与旋转方向符合右手法则 ,向径,*三、向量的混合积,1. 定义,已知三向量,称数量,混合积 .,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,2. 混合积的坐标表示,设,3. 性质,(1) 三个非零向量,共面的充要条件是,(2) 轮
7、换对称性 :,(可用三阶行列式推出),例6. 已知一四面体的顶点,4 ) , 求该四面体体积 .,解: 已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,例7. 证明四点,共面 .,解: 因,故 A , B , C , D 四点共面 .,内容小结,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,混合积:,2. 向量关系:,第三节,一、平面的方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,平面及其方程,定义:,设 是 中一个平面,,定义如上,则 中与二维子,空间 正交的非零向量称为平面 的法向量;平面 的,所有法向量添上零向量组成 的一个一维子空间, 中以平面 的法向量为方向向量的直线称为
8、平面 的法线。,设在 中给定一个平面 ,采用线性代数的术语来描述平面 , 是 中的一个集合,则集合 是 中的一个二维线性子空间。反之,给了 中一个二维子空间 ,存在 中的平面 使得 实际上,任取点 记 则 可充当平面 的,可见这种平面有无限多。,一、平面的方程,设一平面通过已知点,,法向量是,称式为平面 的坐标形式方程(点法式)。,故,称为平面 的向量形式方程。,还可以采用两个参数来表述平面。设 是 的一个二维子空间。设 是两个不共线的向量。设 是一个固定点,设 是 上的任意点,则,并得到平面 的参数方程。,例1.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的
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