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1、1.6三角函数模型的简单应三角函数模型的简单应 用用 人教A版普通高中课课程标标准实验实验教科书书数学(必修4) 0 1 0 20 30 6 1 0 14 x y 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差 是200C. 例1 如图1.6-1,某地一 天从614时的温度变化曲线近似满足函数 (1)求这一天614时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. (2)从图中可以看出,从614时的 图象是函数 的半个周期的图象, 一般的,所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时刻的温度变化情况,因此应当特 别注意自变量的变化范围. 总结: 利用 ,求得 选择的点要认清其属“五点法”中的哪一 位置点,并
2、能正确代人列式,求得 . “第一点”为: “第二点”为: “第三点”为: “第四点”为: “第五点”为: 例2 画出函数 的图象并观察其 周期。 x y 0 -2-23-3 解:函数图象如图所示。 从图中可以看出,函数 是以为 周期的波浪形曲线。 我们也可以这样进 行验证 : 由于 所以,函数 是以为周期的函数。 x y 0 -2-23-3 探究一:建立三角函数模型求临界探究一:建立三角函数模型求临界 值值 【背景材料背景材料 】如图,设地球表面某地正如图,设地球表面某地正 午太阳高度角为午太阳高度角为 ,为此时太阳直射纬为此时太阳直射纬 度,度, 为该地的纬度值为该地的纬度值 .当地夏半年当
3、地夏半年 取正取正 值,冬半年值,冬半年 取负值取负值 . 如果在北京地区(如果在北京地区( 纬度数约为北纬纬度数约为北纬 40)的一幢高为)的一幢高为 h0的楼的楼 房北房北 面盖一新楼,要使新面盖一新楼,要使新 楼一层正午的太阳全楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮年不被前面的楼房遮 挡,两楼的距离不应挡,两楼的距离不应 小于多少?小于多少? 太阳光太阳光 - 思考思考 1:图中图中 、这三个这三个 角之间的关系角之间的关系 是什么?是什么? =90. 思考思考 2:当太阳高度角为当太阳高度角为 时,设高时,设高 为为h0的楼房在地面上的投影长为的楼房在地面上的投影长为h ,那么,那么
4、、h0、h三者满足什么关系三者满足什么关系 ? h=h0 tan. 太阳光太阳光 - 思考思考 3:根据地理知识,北京地区一根据地理知识,北京地区一 年中年中 ,正午太阳直射什么纬度位置时正午太阳直射什么纬度位置时, 物体的影子最短或影子最长?物体的影子最短或影子最长? 太阳直射北回归线时归线时 物体的影子最 短,直射南回归线时归线时 物体的影子最 长长. 思考思考 4:如图,如图, A、B、C分别为太阳分别为太阳 直射北回归线、赤道、南回归线时直射北回归线、赤道、南回归线时 楼顶在地面上的投影点楼顶在地面上的投影点.要要 使新楼一层正午使新楼一层正午 的太阳全年不被的太阳全年不被 前面的楼房
5、遮挡,前面的楼房遮挡, 两楼的临界距离两楼的临界距离 应是图中哪两点应是图中哪两点 之间的距离?之间的距离? -2326 0 2326 40 MACB h0 思考思考 5:右图中右图中 C的度数是多的度数是多 少?少? MC的长度的长度 如何计算?如何计算? 思考思考 6:综上分析,要使新楼一层正综上分析,要使新楼一层正 午的太阳全年不被前面的楼房遮挡午的太阳全年不被前面的楼房遮挡 ,两楼的距离不应小于多少?,两楼的距离不应小于多少? -2326 0 2326 40 MACB h0 圣米切圣米切尔尔山山 涨涨涨涨潮潮落潮落潮 海水受日月的引力,在一定的海水受日月的引力,在一定的时时时时候候发发
6、发发生生涨涨涨涨落的落的现现现现象叫象叫 潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。 例2.海水受日月的引力,在一定的时时候发发生涨涨落的现现象叫潮,一 般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨涨潮时驶进时驶进 航 道,靠近船坞坞;卸货货后,在落潮时时返回海洋,下面是某港口在 某季节节每天的时间时间 与水深的关系表: 时时刻水深(米)时时刻水深(米)时时刻水深(米) 0:005.09:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:005.0 (1)选选用一个函数来近似描述这这个港口的水深与时间时间 的
7、函数关 系,并给给出整点时时的水深的近似数值值。(精确到0. 1) (2)一条货货船的吃水深度(船底与水面的距离)为为 4米,安全 条例规规定至少要有1.5米的安全间间隙(船底与洋底的距离),该该 船何时时能进进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为为4米,安全间间隙为为1.5米,该该船在2:00 开始卸货货,吃水深度以每小时时0.3米的速度减少,那么该该船在什 么时间时间 必须须停止卸货货,将船驶驶向较较深的水域? (1)以时间为时间为 横坐标标,水深为纵为纵 坐标标, 在直角坐标标系中画出散点图图,根据图图象, 可以考虑虑用函数 来刻画水深与时间时间 之间间的对应对应 关系.
8、从数据和图图象可以得出: A=2.5,h=5,T=12, =0; 由 ,得 所以,这这个港口的水深与时间时间 的关系可以近似描述为为: 由上述关系式易得港口在整点时时水深的近似值值: 解: (2)货货船需要的安全水深 为为 4+1.5=5.5 (米),所以 当y5.5时时就可以进进港. 令 化简简得 由计计算器计计算可得 解得 因为为 ,所以有函数周期性易得 因此,货货船可以在凌晨零时时30分左右进进港,早晨5时时30分左右出 港;或在中午12时时30分左右进进港,下午17时时30分左右出港,每次 可以在港口停留5小时时左右。 解: 解: (3)设设在时时刻x船舶的安全水深为为y, 那么y=5
9、.5-0.3(x-2) (x2),在同一坐标标 系内作出这这两个函数的图图象,可以看 到在6时时到7时时之间间两个函数图图象有一 个交点. 通过计过计 算可得在6时时的水深约为约为 5米,此时时船舶的安全水深约为约为 4.3米;6.5时时的水深约为约为 4.2米,此时时船舶的安全水深约为约为 4.1米; 7时时的水深约为约为 3.8米,而船舶的安全水深约为约为 4米,因此为为了安 全,船舶最好在6.5时时之前停止卸货货,将船舶驶驶向较较深的水域。 课堂练习;如图是某简谐运动的图象课堂练习;如图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题试根据图象回答下列问题 : (1)这个简谐运动的振幅、周期和
10、频率各是多少这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从从O点算起点算起 ,到曲线上的哪一点到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复表示完成了一次往复 运动运动 ?如从如从 A点算起呢点算起呢 ? (3)写出这这个简谐简谐 运动动的函数表达式. (2)如果从O点算起,到曲线线上的D点,表示 完成了一次往复运动动;如果从A点算起,则则 到曲线线上的E点,表示完成了一次往复运 动动. 解:(1) 振幅为为2 cm;周期为为0.8 s;频频率为为 (3)设这设这 个简谐简谐 运动动的函数表达式为为 y=Asin(x+),x 0,+), 那么A=2;由T=0.8,得= ;由图图象知初相=0. 于是所
11、求函数表达式是y=2sin/x,x 0,+). 作业业; 1. 电视电视 台的不同栏栏目播出的时间时间 周期是不同的 ,有的每天播出,有的隔天播出,有的一个 星期播出一次。请查阅请查阅 当地的电视节电视节 目预预 告,统计统计 不同栏栏目的播出周期。 2. 请调查请调查 你所在区的每天的用电电情况,制定一 项项合理的电电价方案。 3. 一个城市所在的经经度和纬纬度是如何影响日出 和日落的时间时间 的?收集其他有关数据,并提 供理论证论证 据支持你的结论结论 。 总结总结 提炼炼 (1) 三角应用题的一般步骤是: 分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 建模:根据已知条件与求解目标,数学模型 求解:利用三角形,求得数学模型的解 检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从 而得出实际问题的解 现实问现实问 题题 现实现实 模 型 改 造 三角函数模型 抽象 概括 解析式 图图 形 三角函数模型的解 数学 方法 还原 说明 现实现实 模型的 解 是否符合实际 修改 再见见!
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