高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理自主训练新人教B版必修5201710032121.doc
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1、1.1 正弦定理和余弦定理自主广场我夯基 我达标1.在ABC中,A=60,a=,则等于( )A. B. C. D.思路解析:由比例的运算性质,知=,由题意,已知A、a,可得.答案:B2.ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为( )A. B. C. D.思路解析:pq(a+c)(c-a)=b(b-a) b2+a2-c2=ab,利用余弦定理,得2cosC=1,即cosC=C=.答案:B3.在ABC中,若,则ABC是( )A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形思路解析:设=k,则a=ksi
2、nA,b=ksinB,c=ksinC,代入,得.于是sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,A=B.同理,B=C,C=A.答案:B4.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1,则c等于( )A.1 B.2 C. D.思路解析:由正弦定理,得sinB=,又ab,所以AB,故B=30.所以C=90.故c=2.也可以利用b2+c2-a2=2bccosA求解.答案:B5.在ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c.若sinAsinBsinC=578,则abc=_,B的大小是_.思路解析:,sinAsinBsinC=578,abc=578.令a=5,b
3、=7,c=8,则cosB=.B=.答案:578 6.在ABC中,已知BC=12,A=60,B=45,则AC=_.思路解析:已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理.由正弦定理,得,解得AC=.答案: 7.已知钝角ABC的三边a=k,b=k+2,c=k+4,求k的取值范围.思路分析:由三角形中大边对大角的性质,可知角C为最大角,即C为钝角,则cosC0,结合余弦定理可求解.注意已知三边a,b,c,必须首先能构成一个三角形,方法是两边之和大于第三边.解:cba,角C为钝角.由余弦定理,得cosC=0.k2-4k-120,即-2k6.又由三角形两边之和大于第三边,即k+(k+2)k
4、+4,得k2.2k6.8.ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,角C等于角A的2倍,a+b=10,cosA=,求:(1)的值;(2)b的值.思路分析:由C=2A,得sinC=sin2A,利用二倍角公式结合正弦定理可求的值;利用余弦定理及的值联立求b.解:(1)C=2A,sinC=sin2A=2sinAcosA.由正弦定理,得=2cosA=2=.(2)cosA=,又a+b=10,c=,联立,解得当a=5,b=5时,三角形为等腰三角形,由A=B及C=2A可得A=45,这与cosA=矛盾,不合题意,b的值为.我综合 我发展9.在ABC中,角A、B、C对边分别为a、b、c.求证:.思路分析:分
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