幂级数.ppt
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1、 1 幂级数,一般项为幂函数 的函数项级数称为幂级数, 这是一类最简单的函数项级数. 幂级数在级数理论中有着特殊的地位, 在函数逼近和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具. 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质 三、幂级数的运算,一、幂级数的收敛区间,幂级数的一般形式为,首先讨论幂级数(2)的收敛性问题. 显然形如(2)的任,还在哪些点收敛? 我们有下面重要的定理.,定理14.1 (阿贝耳定理) 若幂级数(2)在,证,且有界, 即存在某正数 M, 使得,则有,注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点,为中心的区间!这是非常好的性质.若以
2、2R表示区,间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径. 事实上, 收,敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的,上确界. 所以有,(ii),为幂级数(2)的收敛区间. 怎样求得幂级数(2)的收敛,半径和收敛区间呢?,定理14.2 对于幂级数(2), 若,则当,证,径,(iii),注 由定理14.2可知, 一个幂级数的收敛域等于它的,收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.,在第十二章2第二段曾经指出: 若,幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法,可以参考第十二章的相关说明.,例1,所,的收敛域为,例2 设有级数,由于,*定理14. 3(柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamar
3、d)定理),对于幂级数(2), 设,则当,注 由于上极限(5)总是存在, 因而任一幂级数总能,由(5)式得到它的收敛半径.,*例3 设有级数,时, 这两个数项级数都发散. 故级数的收敛域为,解 (i)先求收敛半径.,方法2 应用柯西-阿达玛定理,由于,所以, 收敛半径为,下面讨论幂级数(2)的一致收敛性问题.,上, 级数(2)都一致收敛.,证,任一点x, 都有,)上一致收敛.,递减且一致有界, 即,故由函数项级数的阿贝耳判别法, 级数(2)在,上一致收敛.,对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办,法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.,例5 级数,由于,收敛级数,当 x =
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