信号与系统教案第5章.ppt
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1、第五章 连续系统的s域分析,5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型,点击目录 ,进入相关章节,第五章 连续系统的s域分析,频域分析以虚指数信号ejt为基本信号,任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足: (1)有些重要信号不存在傅里叶变换,如e2t(t); (2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广
2、到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = +j,以复指数函数est为基本信号,任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ,故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。,5.1 拉普拉斯变换,一、从傅里叶到拉普拉斯变换,有些函数不满足绝对可积条件,求解傅里叶变换困难。为此,可用一衰减因子e-t(为实常数)乘信号f(t) ,适当选取的值,使乘积信号f(t) e-t当t时信号幅度趋近于0 ,从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。,相应的傅里叶逆变换 为,f(t) e-t=,Fb(+j)= f(t) e-t=,令s = + j,d =ds/j,有
3、,5.1 拉普拉斯变换,双边拉普拉斯变换对,Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换(或象函数), f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换(或原函数)。,二、收敛域,只有选择适当的值才能使积分收敛,信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。,5.1 拉普拉斯变换,例1 因果信号f1(t)= et (t) ,求其拉普拉斯变换。,解,可见,对于因果信号,仅当Res=时,其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。,收敛域,收敛边界,5.1 拉普拉斯变换,例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ,求其拉普拉斯变换。,
4、解,可见,对于反因果信号,仅当Res=时,其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。,5.1 拉普拉斯变换,例3 双边信号求其拉普拉斯变换。,求其拉普拉斯变换。,解,其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s),仅当时,其收敛域为 Res的一个带状区域,如图所示。,5.1 拉普拉斯变换,例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= e -3t (t) e-2t (t) f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t),解,Res= 2,Res= 3, 3 2,可见,象函数相同,但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。,5.1
5、拉普拉斯变换,通常遇到的信号都有初始时刻,不妨设其初始时刻为坐标原点。这样,t0时,f(t)=0。从而拉氏变换式写为,称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Res ,可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。,三、单边拉氏变换,简记为F(s)=f(t) f(t)= -1F(s) 或 f(t) F(s),5.1 拉普拉斯变换,四、常见函数的拉普拉斯变换,1、(t) 1, -,2、(t)或1 1/s , 0,3、指数函数e-s0t , -Res0,cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ,sin0t = (ej0t e-j0t )/2j ,5.1 拉普拉斯变换,4、周期信号fT(t)
6、,特例:T(t) 1/(1 e-sT),5.1 拉普拉斯变换,五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系,Res0,要讨论其关系,f(t)必须为因果信号。,根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况: (1)0-2; 则 F(j)=1/( j+2),5.1 拉普拉斯变换,(2)0 =0,即F(s)的收敛边界为j轴,,如f(t)= (t)F(s)=1/s,= () + 1/j,(3)0 0,F(j)不存在。 例f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2;其傅里叶变换不存在。,5.2 拉普拉斯变换性质,5.2 拉普拉斯变换性质,一、线性性质,若f1(t)F1(s) Res1 , f2(t)F2(s
7、) Res2 则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax(1,2),例 f(t) = (t) + (t)1 + 1/s, 0,二、尺度变换,若f(t) F(s) , Res0,且有实数a0 , 则f(at) ,Resa0,5.2 拉普拉斯变换性质,例:如图信号f(t)的拉氏变换F(s) =,求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。,解:,y(t)= 4f(0.5t),Y(s) = 42 F(2s),5.2 拉普拉斯变换性质,三、时移(延时)特性,若f(t) F(s) , Res0, 且有实常数t00 , 则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) , Re
8、s0,与尺度变换相结合,f(at-t0)(at-t0),例1:求如图信号的单边拉氏变换。,解:f1(t) = (t) (t-1),f2(t) = (t+1) (t-1),F1(s)=,F2(s)= F1(s),5.2 拉普拉斯变换性质,例2:已知f1(t) F1(s), 求f2(t) F2(s),解: f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2),f1(0.5t) 2F1(2s),f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2s,f2(t) 2F1(2s)(1 e-2s),例3:求f(t)= e-2(t-1)(t) F (s)=?,5.2 拉普拉斯变换性质,四、复频移(s域平移)特性
9、,若f(t) F(s) , Res0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat F(s-sa) , Res0+a,例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=,求e-tf(3t-2)的象函数。,解:e-tf(3t-2) ,例2:f(t)=cos(2t/4) F(s)= ?,解cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4),5.2 拉普拉斯变换性质,五、时域的微分特性(微分定理),若f(t) F(s) , Res0, 则f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-),f(n)(t) snF(s) ,若f(t)为
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