射影平面课件.ppt
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1、 1.3 1.3 射影平面射影平面 一、实射影平面(二维实射影空间) 二、实射影平面的模型 1.3 1.3 射影平面射影平面 三、射影坐标变换 定义1.10 在射影平面上取定四点A1(1,0,0), A2(0,1,0), A3(0,0,1), I(1,1,1), 规定无论如何选取A1, A2, A3, I 的齐次坐标, 总成立下列关 系式 (1.7 ) 则称这四点为平面上的一个原始的射影坐标系, 记作(A1A2A3 | I). 称 A1A2A3为坐标三点形,I为单位点. 点与直线在这坐标系下的坐标称 为原始坐标. 注2: 原始的射影坐标系确定的坐标映射即为定义1.9中的. 注1: (1.7)式
2、:选取A1, A2, A3, I的齐次坐标时, 必须满足 注3: 拓广平面上的笛氏齐次坐标系(A1A2A3|I)为一个原始的射 影坐标系. 1.3 1.3 射影平面射影平面 证明: 只要证对平面上任意一点X, (PQR|E)可惟一确定其点坐标 映射. 设X的原始坐标为(x1*, x2*, x3*), 则由线性代数知识以及式(1.8), 存在惟一向量类(x1, x2, x3)RP2, 满足 (1.9 ) 于是(1.9)惟一确定了点X在射影坐标系(P,Q,R|E)下的一个齐次射 影坐标(x1, x2, x3). 三、射影坐标变换 定理1.11 在射影平面上任意取定四点P, Q, R, E, 满足
3、(1) P, Q, R, E中任何三点不共线; (2) 规定选取这四点的原始坐标P(pi), Q(qi), R(ri), E(ei)时, 满足 (1.8 ) 则这四点构成一个射影坐标系(PQR|E). 称PQR为坐标三点形, E为 单位点. 注1 在(PQR|E)下, P,Q,R,E各有一组齐次坐标为P(1,0,0), Q(0,1,0), R(0,0,1), E(1,1,1).因此(PQR|E)也可作为原始坐标系. 注2 因为P,Q,R不共线,所以| pi qi ri |0,即(1.9)式为非奇异线性 变换, 称为两种射影坐标之间的射影坐标变换. 注3 在拓广平面上, 笛氏齐次坐标是射影坐标的
4、特例. 从而1.2 讨论的结论全部在射影坐标下成立, 今后可不区分地使用 笛氏齐次坐标或齐次射影坐标. 注4 (1.10 ) 按坐标变换新、老坐标的书写习惯,(1.9)式改写为 这是传统的坐标变换的逆式,今后可直接使用. 1.3 1.3 射影平面射影平面 三、射影坐标变换 1.3 1.3 射影平面射影平面 四、实射影直线(一维实射影空间) 定义1.11 在射影直线上取定相异三点P, Q, E, 选取其笛氏齐次 坐标P(pi), Q(qi), E(ei)使得 则在射影直线上定义了以P, Q为基点, E为单位点的一个一维射影 坐标系, 记作(PQ|E). 射影直线上任意一点X(x1, x2, x3
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