一元方程的不动点迭代法.ppt
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1、6.2 一元方程的不动点迭代法,6.2.2 局部收敛性和加速收敛法,6.2.1 不动点迭代法及其收敛性,6.2.1 不动点迭代法及其收敛性,(6.2.3),把(6.2.1)转换成等价形式(6.2.2)的方法很多,迭代函数的不同选择对应不同的迭代法,它们的收敛性可能有很大的差异。当方程有多个解时,同一迭代法的不同初值,也可能收敛到不同的根。举例说明如下。,对应的迭代法分别为,表 6-2,例 6.3,解,对应的迭代法为,则对方程(6.2.2)有,(6.2.5),证,显然有,(6.2.6),由估计式(6.2.5)可知,只要相邻两次计算结果的偏差 足够小,且 不很接近1,既可保证近似值 具有足够的精度
2、。因 此,可以通过检查 的大小来判断迭代过程是否终止。并 且,由(6.2.5)有,(6.2.7),有时,对于一些不满足定理6.1的条件问题,可以通过转化,化为适合于迭代的形式。这要针对具体情况进行讨论。,6.2.2 局部收敛性和加速收敛法,定理 6.2,上述定理称为局部收敛定理,它给出了局部收敛的一个,充分条件。当迭代收敛时,收敛的快慢用下述收敛阶段来衡量。,从而,在这种情况下,x k 是线性收敛的。可见,提高收敛阶的一个途径是选择迭代函数 ,使它足 。下面给出整数阶超线形收敛的一个充分条件。,其中 在 与 之间。由(6.2.9)有,由 的连续性可得(6.2.10)。定理得证。,因此,当k充分
3、大时有,从中解出 得,所以,我们在计算了 之后, 可以用上式右端作为的一个修正值。这样,我们可将迭代法改造成下述过程,称为Steffensen迭代法:,表64,例6.6 求方程的根。 。,解 此方程等价于 。由y=x和 可以看出 , 只有一个不动点x*0,都有 ,所以迭代法 线性收敛。取初始值 =0.5,迭代结果列于表64。准确解是=0.56714329040978,可见线性收敛的速度是很慢的。,表65,定理6.4 设函数按(6.2.13)定义。,从而 。反之,若 ,则由(6.2.13)得 知 。,于是,由 对(6.2.14)的两边求极限,因为x*至少是 p(x)和q(x)二重根,所以,使用两次LHospitale法则得,其中,(2)由(1)可知x* 是 的不动点,于是,由定理6.3,只要证明 。对(6.2.13)两边求导得,可见,在定理6.4的条件下,不管原迭代法 收敛还是不收敛,由它构成的Steffensen迭代式(6.2.11)至少平方收敛。因此,Steffensen迭代法是对原迭代法的一种改善。关于原迭代法不收敛的情形,举例如下。,表66,仍取初值 =1.5,计算结果如表66。可见,Steffensen迭代法对这种不收敛的情形同样有效。,
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