一变化率.ppt
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1、一 变化率,2.1 导数的概念,1 变速直线运动的瞬时速度 设一物体沿直线运动,该物体从开始时刻t=0到t 时刻所走的路程为s=s(t).求此物体在t。时刻的瞬时速度v(t。)。 如果物体作匀速直线运动,物体在t。时刻的瞬时速度v(t。),就是从时刻t。到t。+t这段时间内的平均速度,即物体在这段时间内走过的路程s=s(t。+t)-s(t。)与这段时间的比值:,当点M沿曲线l趋于M。点时,对应的割线就趋于切线M。T。如果当 时, 割线的极限存在,则 就是所要求的切线斜率, k=,2 平面曲线的切线斜率 设M。(x。,y。)是函数y=f(x)的图形上的一点,求此函数曲线在M。点的切线的切线斜率k
2、。 在曲线上取一点M(x。+x,y。+y),割线M。M斜率为,从极限的观点来看,上述的切线斜率也是函数增量与自变量之比的极限。,由上面两个问题可以看出,虽然实际背景不同,但所要量都可归结为:,计算一个已知函数y=f(x)的函数值增量与自变量增量的比值当x 0极限 称 为函数f(x)相对于自变量x的平均变化率 称 为函数f(x)相对于自变量x。的瞬时 变化率,简称变化率。它反映了函数f(x)随自变量x的变化而变化的快慢程度。,二 导数的概念 在整个科学领域中,如化学反应速度,生物繁殖率,电流强度,人口增长率,经济增长率等,都可以归结为求函数的变化率问题。为此引入导数概念。,定义1 设函数y=f(
3、x)在点x。的某一邻域内有定域,当自变量在点x。y= f(x)取得增量x(x。+x仍在邻域内)时,相应的函数y取得增量y= f( x。+x)。如果当x 0时,比值 的极限存在,则称函数y=f(x) 在点x。可导,并称此极限为函数y=f(x)在点x。的导数,记为,(1),函数y=f(x)在点x。可导也称作f(x)在点x。具有导数或导数存在。 导数的定义还有一些等价形式,例如,(2),(3),如果极限(1)不存在,则称函数y=f(x)在点x。不可导,或称函数y=f(x)在点x。导数不存在,如果不可导的原因是因为 ,,如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的任意一点x都可导,则称函数y=f(x)在区
4、间(a,b)内可导。此时对区间内的任意一点x,都有唯一确定的导数值 与之对应,有函数的定义知 是x的函数,把这个函数称为函数y=f(x)的导函数,记为,为方便起见,这时也称函数y=f(x)在点x。的导数为 无穷大,记为,显然 是函数在点x。的函数值,也称导函数 为导数 由导数的定义知,做变速直线运动的物体在t。时刻的瞬时速度v(t。)= s(t。);平面曲线在M。(x。,y。)点的切线的斜率k=。,例 1 求函数y=x2的导数,并求它在x=0和x=2点的导数。 解,函数f(x) 在x。点的导数是一个极限值 函数f(x) 在x。点可导的充要条件: 和 都存在且相等。分别成为函数f(x) 在x。点
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