优化设计的数学基础.ppt
《优化设计的数学基础.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《优化设计的数学基础.ppt(60页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第二章 优化设计的数学基础,机械设计问题一般是非线性规划问题。,实质上是多元非线性函数的极小化问题,因此,机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的。,机械优化设计问题分为:,无约束优化,约束优化,无条件极值问题,条件极值问题,第一节 多元函数的方向导数与梯度,一、方向导数,从多元函数的微分学得知,对于一个连续可微函数f(x)在某一点 的一阶偏导数为:,它表示函数f(x)值在 点沿各坐标轴方向的变化率。,有一个二维函数,如图2-1所示。,图2-1 函数的方向导数,其函数在 点沿d方向的方向导数为,二、二元函数的梯度,即,三、多元函数的梯度,沿d方向的方向向量,即,图2-5 梯度方向与等值面
2、的关系,函数的梯度方向与函数等值面相垂直,也就是和等值面上过x0的一切曲线相垂直。,由于梯度的模因点而异,即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此,梯度是函数的一种局部性质。,梯度 模:,梯度两个重要性质: 性质一 函数在某点的梯度不为零,则必与过该点的等值面垂直; 性质二 梯度方向是函数具有最大变化率的方向。,图2-2 梯度方向与等值面的关系,例题 2-1,求函数 在点3,2T 的 梯度。,在点x(1)=3,2T处的梯度为:,解:,例2-2*:试求目标函数 在点 处的最速下降方向,并求沿这个方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。,则函数在 处的最速下降方向是,解: 由于,新点是,这个方向
3、上的单位向量是:,几个常用的梯度公式:,若目标函数f(x)处处存在一阶导数,则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零,即,满足此条件仅表明该点为驻点,不能肯定为极值 点,即使为极值点,也不能判断为极大点还是极 小点,还得给出极值点的充分条件,设目标函数在 点至少有二阶连续的偏导数,则,在这一点的泰勒二次近似展开式为:,第二节 多元函数的泰勒展开,泰勒展开写成向量矩阵形式,(1) F(X*)=0; 必要条件 (2)Hesse矩阵G(X*)为正定。 充分条件,多元函数f(x)在 处取得极值,则极值的条件为,为无约束极小点的充分条件,其Hesse矩阵G(X*)为正定的。,则极小点必须满足,为无约束优化问
4、题的极值条件,同学考虑二元函数在 处取得极值的充分必要条件。,各阶主子式大于零,例:求函数的 极值,第三节 无约束优化问题的极值条件,无约束优化问题是使目标函数取得极小值,所谓极值条件就是指目标函数取得极小值时极值点所应满足的条件。,第四节 凸集、凸函数与凸规划,前面我们根据函数极值条件确定了极小点,则函数f(x)在 附近的一切x均满足不等式,所以函数f(x)在 处取得局部极小值,称 为 局部极小点。,而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内 的全局极小点。,函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢?,图2-7 下凸的一元函数,一、凸集,的线段都全部包含在该集合内,就称该点集为凸集, 否则为非
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 优化 设计 数学 基础
链接地址:https://www.31doc.com/p-2654940.html