一矩阵的行秩列秩秩.ppt
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1、一、矩阵的行秩、列秩、秩,二、矩阵的秩的有关结论,3.4 矩阵的秩,三、矩阵秩的计算,一、矩阵的行秩、列秩、秩,定义,的秩称为矩阵 A 的行秩;,则矩阵 A 的行向量组,的秩称为矩阵 A 的列秩.,矩阵 A 的列向量组,设,引理 如果齐次线性方程组,(1),的系数矩阵,的行秩 ,那么它有非零解,(若(1)只有零解,则 ),证:,的秩为r,,设矩阵 A 的行向量组,且不妨设 为其一个极大无关组.,于是方程组(1)与方程组(1)是同解的.,由于向量组 与向量组 等价,,(1),所以(1)有非零解,从而(1)有非零解.,在(1)中,定理4 矩阵的行秩矩阵的列秩,证明:设 ,A的行秩r,A的列秩r1,
2、,下证 ,先证 ,则向量组 的秩为r,,不妨设 是它的一个极大无关组,,于是 线性无关,,设A的行向量组为,只有零解.,由引理,方程组(2)的系数矩阵,(未知量的个数).,的行秩,是r个线性无关的行向量,,中一定可以找到 r 个线性无关的向量.,从而在矩阵 的行向量组,不妨设,则该向量组的延伸组,于是矩阵A的列秩 ,同理可证 .,所以 ,也线性无关,矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩,,记作秩A 或 、,定义,注, 设 ,则,若 则称A为行満秩的;,若 则称A为列満秩的., 若 ,则,二、矩阵秩的有关结论,1.定理5 设 , 则,(降秩矩阵),(满秩矩阵),证:,若 n 1, 则A只有一个一
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