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1、5 条 件 概 率,一 条 件 概 率 二 乘 法 定 理 三 全概率公式和贝叶斯公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率,将此概率记作P(A|B).,一般 P(A|B) P(A),第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,P(A )=1/6,,例如,掷一颗均匀骰子,A=掷出2点,,B=掷出偶数点,,P(A|B)=?
2、,已知事件B发生,此时试验所有可能结果构成的集合就是B,,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中,,容易看到,P(A|B),第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,计算P(A|B)时,这个前提条件未变,只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”,使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,下面给出条件概率的定义,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由
3、于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1).,设A、B是两个事件,且P(B)0,则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,例 1 两台车床加工同一种零件共100个,结果如下 合格品数 次品数 总计 第一台车床加工数 30 5 35 第二台车床加工数 50 15 65 总 计 80 20 100,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,设A= 从100个零件中任取一个是合格品 B=从100个零件中任取一个是第一台车床加工的 ,解:,退 出,前一页,后一页,目 录,3.条件概率的性质:,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一
4、页,后一页,目 录,5条件概率,2)直接法:从加入条件后改变了的情况去算,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B)=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例2 两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的 缩减样本空间 中计算,例 3 已知某家庭有3个小孩,且至少有一个是女孩,求该家庭至少有一个男孩的概率,而,所求概率为,解:设 A= 3个小孩至少有一
5、个女孩 B= 3个小孩至少有一个男孩 ,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,二、乘法公式,由条件概率的定义,我们得,这就是两个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,1)两个事件的乘法公式:,退 出,前一页,后一页,目 录,2)多个事件的乘法公式,则有,这就是n个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例3 袋中有一个白球与一个黑球,现每次从中取 出一球,若取出白球,则除把白球放回外再加进 一个白球,直至取出黑球为止求取了n 次都未 取出黑球的概率 解:,则,由乘法公式,我们有,第一章 概率论的基本概念,退 出,
6、前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例 4 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时 打破的概率为 1/2 ,若第一次落下未打破,第二 次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次 而未打破的概率。 解:以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打 破”,以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”, 有:,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,三、全概率公式和贝叶斯公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,1
7、)全 概 率 公 式:,设随机事件,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,全概率公式的证明:,由条件:,得,而且由,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,全概率公式的证明(续),所以由概率的可加性,得,得,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,全概率公式的使用:,我们把事件B 看作某一过程的结果,,根据历史资料,每一原因发生的概率已知,,而且每一原因对结果的影响程度已知,,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例5 某小组有20
8、名射手,其中一、二、三、四 级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、 三、四级射手参加比赛,则在比赛中射中目标 的概率分别为0.85、0.64、.45、0.32,今随机 选一人参加比赛,试求该小组在比赛中射中目 标的概率 解:,由全概率公式,有,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,2)贝叶斯(Bayes)公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,设随机事件,则有:,退 出,前一页,后一页,目 录,Bayes公式的使用,我们把事件B 看作某一过程的结果,,根据历史资料,每一原因发生的概率已知,,而且每一原因对结果的影响程度已知,,如果已知事件B已经发生,要求此时是由第
9、i 个原因引起的概率,则用Bayes公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例 6 用某种方法普查肝癌,设: A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 , D= 被检查者确实患有肝癌 , 已知,现有一人用此法检验患有肝癌,求此人真正患有 肝癌的概率,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,说明:全概率公式, Bayes公式中 可以是,退 出,前一页,后一页,目 录,例 6(续),解: 由已知,得,所以,由Bayes公式,得,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,例 7 袋中有10个黑球,5个白球现掷一枚均匀的 骰子,掷出几点就从袋中取出几个球若已
10、知取 出的球全是白球,求掷出3点的概率 解:,则由Bayes公式,得,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,设B= 取出的球全是白球 ,退 出,前一页,后一页,目 录,练习1: 有甲乙两个袋子,甲袋中有2个白球,1个红球,乙袋中有 2个红球,1个白球这6个球手感上不可区别今从甲袋中 任取1球放入乙袋,搅匀后再从乙袋中任取1球,问 (1)此球是红球的概率? (2)若已知取到1个红球,则从甲袋放入乙袋的是白球的 概率是多少?,练习:,练习2: 设工厂A和工厂B的产品的次品率分别是2%和1%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的产品中随机抽取一件,问 (1)抽到的这件产品为次品的概率是多少? (
11、2)如果抽到的产品为次品,则该次品属于 A厂生产的概率为多少?,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,说明:乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式非常重要,在运用时关键是找到样本空间的划分。,退 出,前一页,后一页,目 录,一、独立性的定义,例 1 袋中有 a 只黑球,b 只白球每次从中取出 一球,令: A = 第一次取出白球 , B = 第二次取出白球 , 分有放回和不放回情形讨论,第一章 概率论的基本概念,6 独 立 性,同理,(1)有放回情形:,退 出,前一页,后一页,目 录,所以,由,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,(2)不放回情形:,所以,,第一章 概率论的基本概
12、念,同理,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,由此例题你会得到什么结论?,退 出,前一页,后一页,目 录,说 明,由例 1,可知,两种情形中都有,这表明,在有放回情形,事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的,即事件 A 与 B 呈现出某种独立性,由此,我们引出事件独立性的概念,第一章 概率论的基本概念,在不放回情形有:,在有放回情形有:,在不放回情形,事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是有影响的,即事件 A 与 B 呈现出不独立性,退 出,前一页,后一页,目 录,定义:,设 A、B 是两个随机事件,如果,则称 A 与 B 是相互独立的随机事
13、件,例,第一章 概率论的基本概念,2)若随机事件 A 与 B 相互独立,则,也相互独立.,证明:为方便起见,只证,相互独立即可,这个性质很重要!,由于,退 出,前一页,后一页,目 录,二、事件独立性的性质:,1)如果事件A 与 B 相互独立,而且,第一章 概率论的基本概念,注意:在实际应用中,对于事件的独立性,我们往往不是根据定义来判断,而是根据实际意义来加以判断的。具体的说,题目一般把独立性作为条件告诉我们,要求直接应用定义中的公式进行计算。,退 出,前一页,后一页,目 录,例 2,设事件 A 与 B 满足:,若事件 A 与 B 相互独立,则 AB;(逆否命题,若 AB =,则事件 A 与
14、B 不相互独立,证明:,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,三、多个事件的独立性,设A、B、C是三个随机事件,,第一章 概率论的基本概念,1)三个事件的独立性:,则称A、B、C是相互独立的随机事件,注意:在三个事件独立性的定义中,四个等式是缺一不可的即:前三个等式的成立推不出最后一个等式;反之,最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立,试想:n个随机事件的独立性的定义及性质。,如果,退 出,前一页,后一页,目 录,例 3 袋中装有 4 个外形相同的球,其中三个球分别涂有红、白、黑色,另一个球涂有红、白、黑三种颜色现从袋中任意取出一球,令: A= 取出的球涂有红色 B=
15、取出的球涂有白色 C= 取出的球涂有黑色 则:,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,由此可见,但是,这表明,A、B、C这三个事件是两两独立的,但不是相互独立的,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,2)n个事件的相互独立性:,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,3)独立随机事件的性质:,则:(1)其中任意 个随机事件也相互 独立;,退 出,前一页,后一页,目 录,若 是相互独立的事件,则,4)相互独立事件至少发生其一的概率的计算:,第一章 概率论的基本概念,在本章第2节介绍了下面这个公式,在独立的条件下有
16、:,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,注 意,退 出,前一页,后一页,目 录,(,),(,),(,),p,n,A,P,A,P,A,P,=,=,=,=,L,2,1,第一章 概率论的基本概念,此例说明:小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的,但是迟早要发生。,不论 p 多么小,退 出,前一页,后一页,目 录,例4 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r,0r1.且各元件能否正常工作是相互独立的,试求下列系统的可靠性:,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,1)每条通路要能正常工作,当且仅当该通路上的各元件都正常工作,故可靠性为,第一章 概率论的基本概念,
17、2)一条通路发生故障的概率为,两条通路同时发生故障的概率为,故系统的可靠性为,即附加通路可使系统可靠性增加。,3)每对并联元件的可靠性为,系统由每对并联的元件串联组成,故可靠性为,由数学归纳法可证明当,解:,退 出,前一页,后一页,目 录,例 5 设有电路如图,其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立,且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。,解 : 设事件 Ai ( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为:,由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独立性,得到,第一
18、章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,例 6 要验收一批 ( 100 件) 乐器。验收方案如下:自该批乐器中随机地抽取 3 件测试 ( 设 3 件乐器的测试是相互独立的),如果至少有一件被测试为音色不纯,则拒绝接受这批乐器。,设一件音色不纯的乐器被测试出来的概率为 0.95,而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 0.01。如果这件乐器中恰有 4 件是音色不纯的,问这批乐器被接受的概率是多少?,p =1-0.01=0.99, q =1-0.95=0.05,退 出,前一页,后一页,目 录,p =1-0.01=0.99, q =1-0.95=0.05,解:以 Hi ( i=0,1,
19、2,3 )表示事件“随机取出的 3 件乐器中恰有 i 件音色不纯”,以 A 表示事件“这批乐器被接受”,即 3 件都被测试为音色纯的乐器。,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,p=1 -0.01=0.99, q=1-0.95=0.05,纯、纯 、纯,纯、纯 、纯 接受,不纯 纯 、纯,纯、纯 、纯 接受,不纯,纯,不纯,纯、纯 、纯 接受,不纯,纯、纯 、纯 接受,H0 H1 H2 H3,p,p,p,q,q,q,q,q,q,p,p,p,第一章 概率论的基本概念,不纯,不纯,由全概率公式有,由测试的相互独立性得 :,退 出,前一页,后一页,目 录,另外,按照超几何分布的概率
20、计算公式得:,第一章 概率论的基本概念,代入公式有,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,本节要点:,1)两个事件的独立性及多个事件的独立性定义;,2)两个事件的独立性及多个事件的独立性的性质;,3)在独立性条件下,求n个事件至少发生一个的 概率公式:,注意:独立事件与互不相容事件的区别与关系; 两两独立与相互独立的区别。,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,思考题:一架长机和两架僚机一同飞往某地进行轰炸,但要到达目的地,非要有无线电导航不可,而只有长机具有此项设备。一旦到达目的地,各机将独立地进行轰炸且炸毁目标的概率为0.3。在到达目的地之前,必须经
21、过敌军的高射炮阵地上空,此时任一飞机被击落的概率为0.2,求目标被炸毁的概率?(0.4765),退 出,前一页,后一页,目 录,第一章:小结,随机事件:样本空间,样本空间的划分,事件的关系,事件的运算,事件的互不相容,事件的独立性。 事件的概率:概率的定义及性质,古典概率,几何概率(略),条件概率 加法公式,乘法公式,全概率公式,bayes公式,习题P34,20:某种产品的商标是“MAXAM” 其中有两个字母脱落,有人拣起随意放回,求放回后仍为“MAXAM”的 概率? 解:,P33,11,将3个球随机的放入4个杯子中去,求杯子中求的最大个数是1,2,3的概率是多少? P杯子中求的最大个数为1= P杯子中求的最大个数为3= P杯子中求的最大个数为2=,P33 10,在11张卡片上分别写上probability这11个字母,从中任意连抽7张,求其排列结果为ability的概率? 解:设字母b,I的各两张卡片是可辩的,。基本事件的总数为 记A事件为“排列结果为ability” P(A)=,P36,32.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3,击伤的概率为1/2,击不中的概率为1/6,并设击伤两次也会导致潜水艇下沉,求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率? 解:设A为“潜艇未被击沉”,等价于“炸弹未击中潜艇或仅一枚炸弹击伤潜艇”,则,
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