一章复变函数和解析函数.PPT
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1、2019/4/30,1,数学物理方法,数学是科学的大门和钥匙,忽视数 学必将伤害所有的知识,因为忽视数学 的人是无法了解任何其他科学乃至世界 上任何其他事物的。 (英)R .培根,2019/4/30,2,教材及指导书,一、教材: 胡嗣柱等 编著,数学物理方法,第二版, 北京大学出版社,2002年7月,二、主要的参考书: 于涛等 编 数学物理方法知识要点与习题解析,哈尔滨工程大学出版社,2007年6月,成绩测定:作业20%上课出席参与10% 考试70% 联系方式:,2019/4/30,3,课程讲授计划,第一章 复变函数和解析函数(5) 第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式(5) 第六章 点源
2、和瞬时源 函数(2) 第七章 傅里叶变换和色散关系(6) 第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数(8) 第九章 数学物理方程的定解问题(6) 第十章 行波法和分离变量法 本征值问题(6) 第十一章 积分变换法(4) 第十二章 球坐标下的分离变量法(8) 第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数(8),2019/4/30,4,上篇 复变函数论,复变函数论(theory of complex functions)的目的: 把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意义。,2019/4/30,5,主要内容: 1 复变函数和解析函数 2 复变函数积分 柯西定理和柯西公式 3 复变函
3、数级数 泰勒级数和洛朗级数等(自学) 4 解析函数(自学) 5 定积分的计算(自学) 6 函数 其余拉普拉斯变换的内容(自学) 7 傅立叶变换和色散 8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数,2019/4/30,6,第一章 复变函数和解析函数,虚数是奇妙的人类精神寄托,它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物。 -戈特弗里德莱布尼茨,2019/4/30,7,目的与要求:掌握复变函数的基本概念和复函数可导 必要条件、掌握解析函数的概念、函数 解析的充要条件、复势的概念。,教学重点: 柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件; 教学难点: 柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、 复变函数解析的充要条
4、件,学习要求与内容提要,2019/4/30,8,莱昂哈德保罗欧拉(Leonhard Paul Euler,1707年4月15日1783年9月18日)是一位瑞士数学家和物理学家,近代数学先驱之一,他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。 欧拉在数学的多个领域,包括微积分和图论都做出过重大发现。他引进的许多数学术语和书写格式,例如函数的记法“f(x)“,一直沿用至今。此外,他还在力学、光学和天文学等学科有突出的贡献。 欧拉是18世纪杰出的数学家,同时也是有史以来最伟大的数学家之一。他也是一位多产作者,其文学著作约有60-80册。法国数学家皮埃尔-西蒙拉普拉斯曾这样评价欧拉对于数学的贡献:“读欧拉
5、的著作吧,在任何意义上,他都是我们的大师”,2019/4/30,9,1.0问题的提出,负数有对数吗?,Bernoulli:负数的对数是实数,Leibniz :不可能有负数的对数,只对正数成立,Euler: 在1747年指出,差一常数,1740年,Euler 给Bernoulli的信中说:,和,是同一个微分方程的解,因此应该相等,1743年,发表了Euler公式,Euler把 作为特殊的数,2019/4/30,10,(1). 复数的代数形式,对虚数单位的规定:,1.1 复数的基本概念,显然,此方程在实数集中是无解的。,为了求出方程的解,引入一个新数i,称为虚数单 位.,1 复数及其代数运算,i2
6、=1,2019/4/30,11,定义,i-虚数单位 满足:i2=-1,虚部 记做:Imz=y,实部 记做:Rez=x,2019/4/30,12,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说:,设:z1=x1+iy1 z2=x2+iy2,复数不能比较大小!,2019/4/30,13,(2)复平面表示与复数三角式,复数的矢量表示法,复数z=x+iy可以用平面上的一个点(x,y)或一个矢量表示,通常把横轴叫实轴,纵轴叫虚轴,而把这种用来表示复数的平面叫复平
7、面。,2019/4/30,14,显然由复数的复平面表示,有下列各式成立,复矢量的长度称为复数的模或绝对值,如图:,那么复数(复矢量)可以表示为,复数的三角表示式,2019/4/30,15,说明,幅角不确定.,2019/4/30,16,幅角主值的定义:,复数的三角函数表示式,利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,(3)复数的指数函数表示,在z(0)的幅角中,把位于 2的 称为arg z的主值。而复数的辐角与幅角主值间有关系,2019/4/30,17,设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数,加减,z1 z2 =(x1+iy1) (x2 +i y2 ) =(x1 x2) +i
8、(y1 y2 ),(4)复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符),乘法,两个复数相乘等于它们的模相乘,幅角相加,2019/4/30,18,除法,两个复数相除等于它们的模相除,幅角相减,n次幂,n次根幂,逼近,2019/4/30,19,共轭,共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,例1.1,解,结论:两个共轭复数的积是实数,注意:,2019/4/30,20,共轭复数的性质:,以上各式证明略.,2019/4/30,21,例1.2 某化工厂计划修建两个深度相同的方池,甲池面积为3平方米,乙池为立方池,其容积比甲池大1立方米。问方池的深度应为多少?
9、,解:设方池的深度为x。按设计要求有,令,代入上述方程有:,其根为,从而,2019/4/30,22,(1)初等解析函数,指数函数,这里的ex是实指数函数,实的正、 余弦函数,1 复变函数及其导数,1.2 复变函数及其导数 柯西黎曼条件,三角函数,2019/4/30,23,例1.3 解方程,解,2019/4/30,24,双曲函数,有理整函数(多项式),有理分式函数,在复平面内分母不为零的点是连续的.,2019/4/30,25,对数函数,称为对数函数lnz的主值。,而,对数函数定义为:,2019/4/30,26,幂函数,定义 设是任意复数,z的幂函数定义为,2019/4/30,27,例1.4,解,
10、2019/4/30,28,例1.5,解,2019/4/30,29,定义:当z=x+iy在复平面上变化时,如果对应于z的每一个值,都有一个或几个复数值w与之对应。则称w为z的复变函数,记作 w=f(z)=u(x,y)+i(x,y),(2)复变量函数,一个复变函数可以用两个二元实函数表示.,2019/4/30,30,(3)复数的导数,定义,记为:,2019/4/30,31,求导公式与法则:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.,20
11、19/4/30,32,可导:对任何方向的,极限都存在并唯一。,复变函数f(z):z沿任一曲线逼近零。,2.柯西黎曼条件(复变函数可导必要条件),实变数f(x): x沿实轴逼近零。,因此,复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。 是否存在复函数可导必须满足的基本条件?,2019/4/30,33,z沿实轴0, y0,设f(z)在z点可导.下面分析z分别沿平行于实轴( y0)和平行于虚轴( x0)趋于零的特殊情况:,柯西黎曼条件,2019/4/30,34,柯西黎曼条件 或C-R条件,由于f(z)在z点可导,要求沿不同方向的极限相等,可导必要条件,z沿虚轴, x0,2019/4/30,35,定理
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