一节二阶与三阶行列式.ppt
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1、第一节 二阶与三阶行列式,扬州大学数学科学学院,线性代数,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列(横排称行、竖排 称列)的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果
2、三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,若记,或,记,即,得,得,则三元线性方程组的解为:,例,解,按对角线法则,有,例3,解,方程左端,例4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.,三、小结,思考题,思考题解答,解,设所求的二次多项式为,由题意得,得一个关于未知数 的线性方程组,又,得,故所求多项式为,第二节 全排列、逆序数,扬州大学数学科学学院,线性代数,一、概念的引入,引例,用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位
3、,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,二、全排列及其逆序数,问题,定义,把 个不同的元素排成一列,叫做这 个元素的全排列(或排列).,个不同的元素的所有排列的种数,通常用 表示.,由引例,同理,在一个排列 中,若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中,,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数,规定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如 排列32514 中,,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,计算排列逆序
4、数的方法,方法1,分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数,这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数, 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.,方法2,例1 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3
5、个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,例2 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当 时为偶排列;,当 时为奇排列.,解,当 为偶数时,排列为偶排列,,当 为奇数时,排列为奇排列.,2 排列具有奇偶性.,3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.,1 个不同的元素的所有排列种数为,三、小结,思考题,分别用两种方法求排列16352487的逆序数.,思考题解答,解,用方法1,1 6 3 5 2 4 8 7,用方法2,由前向后求每个数的逆序数.,第三节 n阶行列式定义,扬州大学数学科学学院,线性代数,一、概念的引入,三阶行列式,说明,(1)三阶行列
6、式共有 项,即 项,(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,二、n阶行列式的定义,定义,说明,1、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、 的符号为,例1 计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零,,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不为零的项
7、为,例2 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,例5,设,证明,证,由行列式定义有,由于,所以,故,1 、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、 阶行列式共有 项,每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,第三节 n阶行列式定义,扬州大学数学科学学院,线性代数,一、概念的引入,三阶行列式,
8、说明,(1)三阶行列式共有 项,即 项,(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,二、n阶行列式的定义,定义,说明,1、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、 的符号为,例1 计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零,,所以 只能等于 ,同理可得,解,
9、即行列式中不为零的项为,例2 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,例5,设,证明,证,由行列式定义有,由于,所以,故,1 、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、 阶行列式共有 项,每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,第五节 行列式性质,扬州大学数学科学学院,线性代数,一、行列式的
10、性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,证明,按定义,又因为行列式D可表示为,故,证毕,性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.,证明,设行列式,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,是由行列式 变换 两行得到的,于是,则有,即当 时,当 时,例如,推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.,证明,互换相同的两行,有,故,证毕,性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 ,等于用数 乘此行列式.,推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质 行列式
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- 一节 行列式
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