一节无穷级数的概念和质.PPT
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1、第一节 无穷级数的概念和性质,一、无穷级数的概念 二、级数的基本性质,一 、无穷级数的概念,定义1 对于数列u1,u2, , un, ,用“+”号将其连接起来,得 u1+u2+un+, 简记为 .称其为无穷级数,简称级数,称其第n项un为通项或一般项.,无穷多项相加意味着什么?怎样进行这种“相加”运算?“相加”的结果是什么?,定义2 称 为级数 的前n项和(n=1, 2, ).简称部分和.,由此可由无穷级数 ,得到一个部分和数列,若 存在,则称级数 收敛,并称此极限值S为级数的和,记为 .若 不存在,则称级数 发散.,定义3 若 收敛,则称,为级数 的余项.,定义4 若 中每项 皆为常数,则称
2、 为常数项级数.,若 且为常数,则称 为正项级数.,若对于某些n,un可以取正值,对于另一些n,un 可以取负值,则称 为任意项级数.,若 中至少有一项 为(非常数)函数,则称 为函数项级数.特别如果 ,则称 为幂级数.,例1 试判定级数 的收敛性.,解 所给级数的前n项和,因此所给级数 发散.,例2 判定级数 的收敛性.,解 此级数为几何级数(或称等比级数).若r=1,则所给几何级数转化为例1,可知其发散.若 ,所给级数前n项和,当|r|1时, ,因而 ,即级数 收敛,且其和为 .,当|r|1时, ,因而 ,即级数 发散.,当r= 1时 , 其前n项和,可知 不存在.因此 发散.,综合上述,
3、可知,例3 判定级数 的收敛性.,解 所给级数的前n项和,可知,故所给级数收敛,且和为1.,二、 级数的基本性质,性质1 () 若级数 收敛,其和为S,又设k为常数,则 也收敛,且和为kS.,()若 发散,且k0,则 必定发散.,证 ()设 ,由于 收敛, 因此应有 .,由极限的性质可知,即 收敛,且其和为kS.,故 发散.,()用反证法.若 设 收敛,则由()知 亦收敛,矛盾.,例4 判定级数 的收敛性.,解 由例2与性质1可知,性质2 若 收敛,其和为S; 收敛,其和为 ,则 必收敛,其和为 .,例5 判定 的收敛性.,解 注意到 与 皆为几何级数, 其公比分别为 与 ,,由例4可知 与
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