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1、第一章 函数与极限,第一节 映射与函数,第二节 数列的极限,第三节 函数的极限,第四节 无穷小与无穷大,第五节 极限运算法则,第六节 极限存在准则 两个重要极限,第七节 无穷小的比较,第八节 函数的连续性与间断点,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,第十节 闭区间上连续函数的性质,第一节 映射与函数,一、 集合,二、 映射,三、 函数,返回,一、集合,集合与元素之间的关系aM:若x是集合的元素;,1.集合概念,(1)集合:具有某种特定性质的事物的总体, 集合的元素通常用A,B,S,T 等表示.,元素: 组成这个集合的事物 集合的元素通常用a,b,x,y等表示.,集合分为有限集和无限集.,
2、a M: 若x不是集合的元素.,(2)集合的表示法,列举法:将集合的元素一一列举出来,描述法:,如:,N=全体自然数,Z=全体整数, Q=全体有理数,R=全体实数.,(3)常用的集合记号,如果 ,必有 ,则称A是B的子集,记为,不含任何元素的集合,则称为空集记为. 是任何集合的 子集.,(4) 集合的关系,若 ,且 ,则称A是B的真子集,记为 .,若 ,且 ,则称A与B相等,记为 .,2、集合的运算,(A与B的并集),(A与B的交集),(A与B的差集),设I表示我们研究某个问题的全体, 则其他集合A都是I的子集,称I为全集或基本集.,A的余集或补集记为:,例如: 在实数集R中,则有,设A、B、
3、C为任意三个集合,则有下列法则成立:,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,(4)对偶律,以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.,证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集.,证明:,且,且,反之,且,注:在以后的证明中,“ ”表示“推出”(或“蕴含”), “ ”表示“等价”.,且,于是,直积或笛卡儿乘积,例如:,为xOy面上全体点的集合,记为,3、区间和邻域,设a,bR,且ab,开区间,闭区间,以上这些区间都称为有限区间.,无限区间,用数轴可以表示区间, 区间常用I表示.,引进记号:,(2) 点a的去心邻域:,注 若不强调的大小,点a的去心邻域记为U(a),邻域,a,返回,二、映
4、射,1、映射的概念,定义 设X、Y是二个非空集合,如果存在一个法则 , 使得对X中每个元素x, 按法则 , 在Y中有唯一确定的元素 y与之对应, 则称 为从X到Y的映射,记为,其中y称为元素x(在映射 下)的像,记作 ,即 ,元素x称为元素y(在映射 下)的一个原像;,集合X称为映射 的定义域, 记作 , 即,X中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域, 记作 或 ,即,注意:,(1) 一个映射必须具备以下三个要素:,集合X, 即定义域,集合Y, 即值域的范围:,(2) 对每个 ,元素x的像y是唯一的;,对每个 ,元素y的原像不一定是唯一的;,映射 的值域 是Y的一个子集,即 ,不一定 .,
5、例1 设 , 对每个 , .,例2 设,显然, 是一个映射, 的定义域 ,值域,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间-1,1上.,这 是一个映射,其定义域 ,值域,为X到Y上的映射(或满射):,为X到Y上的单射:,是从集合X到集合Y的映射,,如:例1 既非单射, 又非满射;,例2 不是单射,是满射;,例3 既是单射,又是满射,因此是一一映射.,映射又称为算子.,根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.,如: 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.,从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.,从实数集(或其子集)X到实数集Y的映
6、射称为定义在X 上的函数.,2. 逆映射与复合映射,注意:只有单射才存在逆映射.,例1,2,3中,只有例3有逆映射:,注意:,映射g 和f 构成复合映射的条件:,两者也不同时有意义.,返回,三、函数,1.函数概念,定义 设数集 ,则称映射 为定义D上的函数,通常简记为 D称为定义域, 记作 , 即 .,对每个 ,按对应法则 f ,总有唯一确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的函数值,记作f (x),即y= f (x).,函数值f (x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域, 记作 或 f (D) , 即,函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.,函数的两要素:,定义域 与对应法
7、则f .,如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.,如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函数,否则叫与多值函数,例如:,对于多值函数, 往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.,表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).,常见的几种函数,例5 函数y=2,例6 函数,阶梯曲线,x表示不超过 的最大整数,例8 取整函数 y=x,如-3.4=-4,1=1,定义域 D=(,+), 值域
8、 =Z.,如:,2. 函数的几种特性,(1) 函数的有界性:,(2)有界与否是和X有关的.,(2) 函数的单调性:,及,设函数f (x)的定义域为D, 区间,及,设函数f (x)的定义域为D, 区间,(3) 函数的奇偶性:,偶函数的图形关于y轴对称.,函数 y=cosx是偶函数.,奇函数的图形关于原点对称.,函数 y=sinx是偶函数.,函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.,(4) 函数的周期性:,函数sinx, cosx的周期是,函数tanx的周期是,例10 狄利克雷函数,它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.,3. 反函数与复合函数,直接函数与反函数
9、的图形关于直线 对称.,复合函数,函数g与函数f 构成的复合函数通常记为,注意:,1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,如:,如:,4. 函数的运算,和(差),积,商,例11 设函数f (x)的定义域为(-l ,l ),证明必存在(-l ,l )上的偶函数g (x)和奇函数h (x), 使得,且,利用(1)、(2)式,就可作出g (x), h (x).,作,则,证毕.,5. 初等函数,(2) 指数函数,(3) 对数函数,(4) 三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,(5) 反三角函数,反正弦函数,反余弦函数,反正切函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,(2) 初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,奇函数.,偶函数.,双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,双曲函数常用公式,反双曲函数,反双曲正弦,反双曲余弦,奇函数,返回,
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