以解析函数理论与方法研究平面电磁场.ppt
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1、以解析函数的理论与方法研究平面电磁场,余毅聪 2003年12月,复变函数和电磁学这两门课中一些重要的公式是很相似的,本文试图在一定的程度上发掘其中的联系。,主要想法,主要内容,1 建立数学模型 2 根据模型推算基本定理 3 一些结论 4 二维场的保形变换,二维场数学模型,无穷长导线的磁场 如图,将一根无穷长的直导线置于坐标原点,方向为Z轴方向。于是易得(x,y)点处的磁场分量为:,X,Y,I,r,B,现把Y-X平面视为复平面, z=x+iy, 并令:,立即得到:w,其中:,这里,很明显地有:,同样,对于电场,则有:,在以下的讨论中,视 为二维电荷, 为二维磁荷。 并统一以符号 表示。,X,同样
2、得到一个复变函数具有性质:,高斯定理与环路定理,注意到对于上面的两种情况,都有 是解析的,因为Cauchy-Riemman方程得到足:,取C为一条围绕原点的简单封闭曲线,如果原点处存在无限长的导线(或者带电直线),则由留数定理可得:,于是解析函数的理论与方法有了用武之地!,比较实部虚部即得:,下面分析上面二式的意义。,(1),(2),对于图重的曲线积分,积分微元是,于是,如果把w看作有两个分量的矢量,可有,即得:,由,最后得到:,对于磁场的情况,上式即是我们熟悉的安培环路定理. 而(2)式的意义又何在呢?注意到:,如果我们定义:,则可以得到:,的几何意义如图所示.当把曲线看成是无限长的柱面的截
3、线时, 即是曲面的法向量.上式的意义即可理解为是二维平面的高斯定理.,显然,稍作推广即可以得到: 1. 对于磁场中的任意简单封闭曲线C,有,2,对于电场的情况,由于电场和磁场所对应的w仅仅相差一个常数i, 所以情况完全类似,仅仅只需要将上面两式的右边交换即可.这里就不作过多的讨论了.,由解析的性质得到的一些结论,磁场和电场(以下仅称场)的分布由边界决定.,事实上,若w在边界C上的值为已知,则对于区域内部的一点Z,有,即是可以由边界上的函数值计算内部的值.,2 平均值公式.对于一个闭圆 如果其内部没有电流(或电荷),则场在圆心处的值,等于圆周上的平均值.,上式的依据是平均值公式,圆心处实部和虚部
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