要点梳理一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二.ppt
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1、要点梳理 1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表:,7.2 一元二次不等式及其解法,基础知识 自主学习,2.用程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c0 (a0)的求解的算法过程为,x|xx1,x|xR,x|xx2,x|x1 xx2,3.上述不等式ax2+bx+c0 (0)中的a均大于0,若a0, 则可先进行转化,使x2的系数为正,但一定注意在转 化过程中,不等号的变化.,基础自测 1.不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D.,解析 不等式 同解于 又相应方程 的两根为 故原不等式的解集为 答案 A,2.设二次不等式ax2+bx+10的解集为x|-1x
2、, 则ab的值为 ( ) A.-6 B.-5 C.6 D.5 解析 因x=-1, 是方程ax2+bx+1=0的两根, a=-3,b=-2,ab=6.,C,3.(2009四川理,1)设集合S=x|x|5,T=x|x2+ 4x-210,则ST= ( ) A.x|-7x-5 B.x|3x5 C.x|-5x3 D.x|-7x5 解析 S=x|-5x5,T=x|-7x3, ST=x|-5x3.,C,4.不等式 的解集是 ( ) A.(-,-1)(-1,2 B.-1,2 C.(-,-1)2,+) D.(-1,2 解析 (x-2)(x+1)0且x-1 -1x2.,D,5.若集合A=x|ax2-ax+10时,
3、相应二次方程中 的=a2-4a0,解得0a4, 综上得 a|0a4.,D,题型一 一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式: (1)2x2+4x+30; (2)-3x2-2x+80; (3)8x-116x2. 首先将二次项系数转化为正数,再看二 次三项式能否因式分解,若能,则可得方程的两根, 大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“”, 利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解 (1)=42-423=16-24=-80. 方程2x2+4x+3=0没有实根. 2x2+4x+30的解集为 . (2)原不等式等价于3x2+2x-80 (x+2)(3x-4)0
4、x-2或x 不等式的解集为(-,-2 ,+). (3)原不等式等价于16x2-8x+10 (4x-1)20. 只有当4x-1=0,即 时不等式成立, 故不等式解集为,探究提高 解一元二次不等式的一般步骤是:(1)化 为标准形式;(2)确定判别式的符号;(3)若0,则 求出该不等式对应的二次方程的根,若0,则对应 的二次方程无根;(4)结合二次函数的图象得出不等式 的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项 式能分解因式,则可立即写出不等式的解集.,知能迁移1 解下列不等式: 解 (1)两边都乘以-3,得3x2-6x+20,且方程3x2-6x+2=0的解是 所以原不等式的解集是,(2)方法
5、一 原不等式即为16x2-8x+10, 其相应方程为16x2-8x+1=0, =(-8)2-416=0, 上述方程有两相等实根 结合二次函数y=16x2-8x+1的图象知, 原不等式的解集为R. 方法二 8x-116x2 16x2-8x+10 (4x-1)20, xR,不等式的解集为R.,题型二 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】已知不等式 (aR). (1)解这个关于x的不等式; (2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围. 讨论a的取值,首先看是否可化为一元二 次不等式,其次看根的大小.,思维启迪,解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)0. 当a=0时,由-(x+1)0,得x
6、0时,不等式化为 解得x 当a0时,不等式化为 若 即-1a0,则 若 即a=-1,则不等式解集为空集; 若 即a-1,则,综上所述,a0时,解集为 (2)x=-a时不等式成立, 即-a+11,即a的取值范围为(1,+).,探究提高 (1)含参数的一元二次不等式可分为两种 情形:一是二次项系数为常数,参数在一次项或常数项 的位置,此时可考虑分解因式,再对参数进行讨论,若 不易分解因式,则要对判别式分类讨论,分类应不重 不漏;二是二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是 否为0,然后再讨论二次项系数不为0的情形,以便确定 解集的形式.注意必须判断出相应方程的两根的大小, 以便写出解集. (2)含参
7、数不等式的解法问题,是高考的重点内容,主 要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想.,知能迁移2 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a30. 解 原不等式可变形为(x-a)(x-a2)0, 则方程(x-a)(x-a2)=0的两个根为x1=a,x2=a2. 当aa2, 此时原不等式的解集为x|xa2; 当0a2,xa, 此时原不等式的解集为x|xa; 当a1时,有a2a,xa2, 此时原不等式的解集为x|xa2; 当a=0时,有x0, 原不等式的解集为x|xR且x0;,当a=1时,有x1, 此时原不等式的解集为x|xR且x1. 综上可知:当a1时, 原不等式的解集为x|xa2; 当0a; 当a
8、=0时,原不等式的解集为x|x0; 当a=1时,原不等式的解集为x|x1.,题型三 一元二次不等式的应用 【例3】某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价 上涨x成,每月卖出数量减少y成,每月售货总金额变 成现在的z倍. (1)用x和y表示z; (2)设y=kx(0k1),利用k表示当每月售货总金额最 大时x的值; (3)若 求使每月售货总金额有所增加的x值的 范围. 通过代数化简,将问题转化成解一元二次 不等式问题.,思维启迪,解 (1)按现在的定价上涨x成时,上涨后的定价为 元,每月卖出数量为 件, 每月售货总金额是npz元, 因而 所以 (2)在y=kx的条件下, 整理可得 由于0k
9、1,所以 所以使z值最大的x的值是,(3) 要使每月售货总金额有所增加,即z1, 应有 即x(x-5)0, 解得0x5,所以所求x的范围是(0,5). 不等式应用题常以函数的模型出现,多 是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题,在解 题中涉及到不等式的解及有关问题,解不等式的应用 题,要审清题意,建立合理、恰当的数学模型,这是 解不等式应用题的关键.,探究提高,知能迁移3 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控, 实行征收附加税政策,现知某种酒每瓶70元,不征 收附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收 附加税,每销售100元要征税R元(叫做税率R%),则 每年的销售收入将减少10R万瓶,要使
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