隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方.ppt
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1、2 隐 函 数 组 隐函数组的存在性、连续性与可微性, 是函数方程组求解问题的理论基础. 利用隐函数组的思想, 又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题. 一、隐函数组概念 二、隐函数组定理 三、反函数组与坐标变换,一、隐函数组概念,设有一组方程,使得对于任给的,足方程组 (1) , 则称由 (1) 确定了隐函数组,其中函数 定义在区域 若存在区域,并有,关于隐函数组的一般情形 ( 含有 m + n 个变量的,m 个方程所确定的 n 个隐函数 ),将在第二十三,章采用向量函数的形式作进一步讨论,首先来看看, 若由方程组 (1) 能确定两个可微的隐,足何种条件呢?,不妨先设 都可微, 由复合求导
2、法, 通过对(1),分别求关于 x 与 y 的偏导数, 得到,能由 (2) 与 (3) 惟一解出 的充要,条件是雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零,即,由此可见,只要 具有连续的一阶偏导数,且,其中 是满足 (1) 的某一,初始点, 则由保号性定理, 使得在此邻域,内 (4)式成立,根据以上分析, 便有下述隐函数组定理.,雅可比( Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德国 ),定理 18.4 ( 隐函数组定理 ) 设方程组 (1) 中的函数,F 与 G 满足下列条件:,(i) 在以点 为内点的某区域,上连续;,(ii) (初始条件);,(iii) 在 V 内存在连续的
3、一阶偏导数;,(iv),二、隐函数组定理,即有,则有如下结论成立:,且满足,使得,在 上连续.,在 上存在一阶连续偏导,数, 且有,本定理的详细证明从略 ( 第二十三章有一般隐函,数定理及其证明 ), 下面只作一粗略的解释:, 由方程组 (1) 的第一式 确定隐,函数, 将 代入方程组(1) 的第二式, 得, 再由此方程确定隐函数 并代回至,这样就得到了一组隐函数,通过详细计算, 又可得出如下一些结果:,例1 设有方程组,试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函,数组?并计算各隐函数在点 处的导数.,解 易知点 满足方程组 (5) . 设,它们在 上有连续的各阶偏导数. 再考察,在点 关于所有变量的
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