在直角坐标系下二重积分的计算.ppt
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1、1,9.2 在直角坐标系下二重积分的计算,何意义来寻求二重积分的计算方法.,设曲顶柱体的曲顶是z=(x,y)(0),底是区域D,z,y,O,x,D,z=(x,y),b,a,D是xy平面上由直线,与曲线,所围成.,x=a, x=b(ab),若直接用二重积分的定义去计算它的值,将是复,杂和困难,甚至是不可能的.下面利用二重积分的几,2,即D为,为了确定曲顶柱体的体积V,在x轴上任取一点x,过该点,x,y,O,a,b,x,D,为了确定积分区域D的范围,在x轴上任取一点x,过该,点作一条垂直于x轴的直线去穿区域,之交点不多于两个,即一进一出.,与D的边界曲线,此区域为X型区域.,3,z,y,O,x,D
2、,z=(x,y),x,S(x),b,a,体积为定积分,则由定积分知:,因对于区间a,b上每一个,固定的x,S(x)就是一个曲边梯形的面积,此曲边梯形,的曲边是由方程z=(x,y)确定的关于y的一元函数,而底边是沿着y轴方向从 的线段.,作一个垂直于x轴的平面,去截曲顶柱体;,其截面面积设为S(x),平行切面截面面积已知的立体的,4,z,y,O,z=(x,y),S(x),故由曲边梯形的面积公式得,或称先对y再对x的累次积分.常简写为,上式右端的积分称为二次积分,5,(x,y)中的x看成常数,此时积分的结果为,量x的函数;,再将此函数对x在区间a,b上求定积分.,注2 去掉上面讨论中的限制(x,y
3、)0,等式照样成立.,x,O,D,y,注1 此式告诉我们:在计算二重积分时,首先把被积,将(x,y)对y从,作定积分;,函数,=S(x)是变,在y轴上任取一点y,过该点作一条垂直于,y轴的直,交点不多于两个,即一进一出.,与D的边界曲线之,此区域为Y型区域.,注3,线去穿区域,y,6,注4 同理:当被积函数是z=(x,y),积分区域D(Y型,即D为,此时, (x,y)的二重积分为先对x再对y的累次积分.,y=c,y=d(cd)与曲线,x,O,D,d,c,y,区域)是xy平面上由直线,常简写为,所围成,7,注5 若D既不是X型区域也不是Y型区域,(如图),x,y,O,则可将D分成若干个部分,使每
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